【LOJ】【带权二分】【树形DP】#2478 「九省联考 2018」林克卡特树

LOJ #2478.「九省联考 2018」林克卡特树

题目大意

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给定一棵有负权边的树，现在必须恰好删去$K$条边，并加上恰好$K$条权值为$0$的边，要求最大化它的直径长度。

分析

考虑连上$K$条权值为$0$的边的意义：

似乎并没有什么意义。只是将一条直径拆成了$K+1$条链带权的链而已。

然而我们也可以用这个方法将原问题转化为求解$K+1$条点不相交的链的最大边权和。

为了描述方便，我们强制定义一个点也属于一条链。（可以看做它形成了一个自环）

设状态$f(u,0/1/2,k)$表示以$u$为根的子树中，选出$k$条点不相交的链的最大边权和，且$u$的度数为$0,1,2$，且强制每个点对应它到父亲的边。

我们尝试列出几个状态转移方程：（其中$v$是$u$的儿子）

• $f(u,0,i)=\max\{f(u,0,j)+f(v,0,i-j)\}$：当$u$的度数为$0$时，可知这个点一定不在链上，直接与子树合并答案即可。
• $f(u,1,i)=\max\{f(u,0,j)+f(v,1,i-j)+w_{u,v},f(u,1,j)+f(v,0,i-j)\}$：当$u$的度数为$1$时，这时$u$是某条链的端点，我们可以将它分成自己本身有一条链、儿子有一条链两种情况，分别取最大即可。
• $f(u,2,i)=\max\{f(u,1,j)+f(v,1,i-j-1)+w_{u,v},f(u,2,j)+f(v,1,i-j)\}$：这时$u$在某条链的中部。我们可以认为这种情况可以由$u,v$分别是两条点不相交的链的端点或者$u$在某条链中部，$v$在另外一条链上所形成的。
• $f(u,0,i)=\max\{f(u,0,i),f(u,1,i-1),f(u,2,i)\}$：把答案合并起来。

于是答案就是$f(1,0,K+1)$

然而这个算法是$O(NK^2)$的，显然过不了。。。

考虑优化：

我们令$K$为横座标，求得的最优解为纵座标，然后 打表 发现这个东西有凸性。于是果断上带权二分。

我们给每条路径二分一个附件权值$v$，在新增一条链时减掉$v$，这样，在$v$较大时可以选出更多的点不相交的链出来，$v$较小时可以选出更少的点不相交的链出来。于是我们二分这个$v$，二分到我们分出的链恰好有$K+1$条出来，最后计算答案时再加回即可。

而如何计算这个链的数量，我们可以用上面那个树形 DP 。只不过将最后一维去掉，并在 DP 时统计链的数量即可。

由于有负权边，故二分的范围要弄大一点。

参考代码

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int Maxn = 3e5;
const ll INF = 1E12;

int N, K;
vector<pair<int, int> > G[Maxn + 5];
void addedge(int u, int v, int w) {
	G[u].push_back(make_pair(v, w));
	G[v].push_back(make_pair(u, w));
}

struct State {
	ll val;
	int cnt;
	State(){}
	State(ll a, int b) {
		val = a, cnt = b;
	}
	State operator + (const State &rhs) {
		return State(val + rhs.val, cnt + rhs.cnt);
	}
	bool operator < (const State &rhs) const {
		return val == rhs.val ? cnt > rhs.cnt : val < rhs.val;
	}
};
State f[3][Maxn + 5];

void DFS(int u, int fa, ll val) {
	for(int i = 0; i < (int)G[u].size(); i++) {
		int v = G[u][i].first;
		ll w = G[u][i].second;
		if(v == fa) continue;
		DFS(v, u, val);
		f[2][u] = max(f[2][u] + f[0][v], f[1][u] + f[1][v] + State(w - val, 1));
		f[1][u] = max(f[1][u] + f[0][v], f[0][u] + f[1][v] + State(w, 0));
		f[0][u] = f[0][u] + f[0][v];
	}
	f[0][u] = max(f[0][u], max(f[1][u] + State(-val, 1), f[2][u]));
}

bool check(ll val) {
	for(int i = 1; i <= N; i++) {
		f[0][i] = f[1][i] = State(0, 0);
		f[2][i] = State(-val, 1);
	}
	DFS(1, 0, val);
	return f[0][1].cnt >= K + 1;
}

int main() {
#ifdef LOACL
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
	scanf("%d %d", &N, &K);
	for(int i = 1; i < N; i++) {
		int u, v, w;
		scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
		addedge(u, v, w);
	}
	ll lb = -INF, ub = INF;
	while(lb <= ub) {
		ll mid = (lb + ub) >> 1;
		if(check(mid)) lb = mid + 1;
		else ub = mid - 1;
	}
	check(lb);
	ll ans = f[0][1].val + 1LL * lb * (K + 1);
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}