LOI 1386 座位安排

題目描述

給n個人安排座位，先給每個人一個1~n的編號，設第i個人的編號爲ai$a_i$ （不同人的編號可以相同），接着從第一個人開始，大家依次入座，第i個人來了以後嘗試坐到ai$a_i$ ，如果ai$a_i$ 被佔據了，就嘗試ai+1$a_{i+1}$ ，ai+1$a_{i+1}$ 也被佔據了的話就嘗試ai+2$a_{i+2}$ ，……，如果一直嘗試到第n個都不行，該安排方案就不合法。然而有m個人的編號已經確定(他們或許賄賂了你的上司…)，你只能安排剩下的人的編號，求有多少種合法的安排方案。由於答案可能很大，只需輸出其除以M後的餘數即可。

分析

• 仔細想一下會發現其中給的pi$p_i$ 並沒有什麼用處，我們只需要知道那個位置之前有人佔了，而不需要知道到底是誰佔領了它。
• 然後我們考慮如何判斷非合法的狀態，記si$s_i$ 表示在i$i$ 位置後面被佔領的位置，如果當si>n−i+1$s_i>n-i+1$ 時顯然是不滿足題意的。
• 最後我們考慮轉移的方程，記fi,j$f_{i,j}$ 表示元素值不小於i$i$ ，有j$j$ 個位置固定的方案數。
• 方程：
  fi,j=Σfi+1,j−k∗Cj,k$$f_{i,j}=\mathrm{\Sigma }{f}_{i+1,j-k}\ast C_{j,k}$$
• 其中j$j$ 的範圍是[0,N−s[i]−i+1]$[0,N-s[i]-i+1]$
• 其中k$k$ 的範圍是[0,j]$[0,j]$
• Cj,k$C_{j,k}$ 表示從j$j$ 箇中選k$k$ 個的組合數

#include <bits/stdc++.h>
#define rep( i , l , r ) for( int i = (l) ; i <= (r) ; ++i )
#define per( i , r , l ) for( int i = (r) ; i >= (l) ; --i )
#define erep( i , u ) for( int i = head[(u)] ; ~i ; i = e[i].nxt )
using namespace std;
int _read(){
    char ch = getchar();
    int x = 0 , f = 1 ;
    while( !isdigit( ch ) )
           if( ch == '-' ) f = -1 , ch = getchar();
           else ch = getchar();
    while( isdigit( ch ) )
           x = (ch  - '0') + x * 10 , ch =  getchar();
    return x * f;
}
typedef long long ll;
const int maxn = 300 + 5;
ll N , M , MOD , f[maxn][maxn] , C[maxn][maxn];
ll _s[maxn] , u[maxn];
int main(){
    int x , y , T;
    scanf("%d", &T);
    while( T-- ){
        memset( _s , 0 , sizeof _s );
        memset( f , 0 , sizeof f );
        memset( C , 0 , sizeof C );
        memset( u , 0 , sizeof u );
        scanf("%d %d %d" , &N , &M , &MOD);
        rep( i , 1 , M ){ scanf("%d %d" , &x , &y); u[y]++; } 
        bool flg = 1;
        per( i , N , 1 ){
            _s[i] = _s[i + 1] + u[i];
            if( _s[i] > N - i + 1 ){ flg = 0; puts("NO"); break; }
        }
        if( !flg ) continue;
        rep( i , 0 , N ){
            C[i][0] = C[i][i] = 1;
            rep( j , 1 , i - 1 )
                C[i][j] = ( C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j] ) % MOD;
        }
        f[N + 1][0] = 1;
        per( i , N , 1 )
            rep( j , 0 , N - _s[i] - i + 1 )
                rep( k , 0 , j )
                    f[i][j] = ( f[i][j] + f[i + 1][j - k] * C[j][k] ) % MOD;
        printf("YES %lld\n" , f[1][N - M]);
    }
    return 0;
}