第二章 命题逻辑等值演算
2.1等值式
（1）A<->B为重言式：如果A、B共同含有n个命题变项，A或B可能含有哑元。若A与B有相同的真值表，则说明在所有的2^n个赋值下，A与B的真值都相同，因而等价式A<->B为重言式。
（2）等值：如果等价式A<->B为重言式，那么A与B是等值的，记做A<=>B。
（3）等值式模式：根据p<->非非p是重言式，那么我们可以推导出，对于一个A是任意的命题公式，那么都有A<=>非非A，成这个式子为等值式模式。下面给出常用的16组等值式模式：
以上16组等值式模式共包含了24个重要的等值式，他们都是用元语言符号书写的。等值式模式中的A,B,C，可以替换成任意的公式，每个等值式模式都可以各处无穷多个同类型的具体的等值式。
课本上包含了若干的例题，可以验证一下。我们来看一个经典的例题：
2.2 析取范式与合取范式
（1）析取式：用析取真值连接词“∨”将两个或两个以上的命题联结而成的一种命题形式
合取式：用合取真值连接词“∧”将两个或两个以上的命题联结而成的一种命题形式
合取式：用合取真值连接词“∧”将两个或两个以上的命题联结而成的一种命题形式
（2）简单析取式和简单合取式：命题变项及其否定统称为文字，仅有有限个文字构成的析取式称作简单析取式，仅有有限个文字构成的合取式，称作简单合取式。
（3）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时包含某个命题变项及它的否定式；一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时包含某个命题变项以及他的否定式。
（4）析取范式/合取范式：有有限个简单合取式的析取构成的命题公式称作析取范式。由有限个简单析取式的合取构成的命题公式成为合取范式。析取范式与合取范式统称范式。
（5）析取范式和合取范式的性质：一个析取范式是矛盾式，当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式；一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式。
（6）将公式转化为析取或者合取范式：将->和<->按照等值式转化成对应的形式，范式中不能出现非修饰的复合式或者双重否定式等，如下图：![]()
（7）范式存在定理：任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式![]()
（8）范式规范化/简单合取式（极小项）/简单析取式（极大项）：在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变项和它的否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变项或它的否定式按下表从小到大或按字典顺序排列，成这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）
由那个命题变项共课产生2^n个不同的极小项，且每个极小项都有且只有一个成真赋值。若极小项对应的成真赋值构成的二进制数的十进制数为i，就将这个极小项记做mi。类似的，n个命题变项共可产生2^n个不同的极大项，且每个极大项都只有一个成假赋值，将其对应的十进制数记做Mi，如下所示：
（9）设Mi和mi是命题变项p1，p2......pn的极小项和极大项，则非mi<=>Mi， 非Mi<=>mi；
(10)主合取范式/主析取范式：所有简单合取式（析取式）都是极小项（极大项）的析取范式（合取范式）称作主析取范式（主合取范式）。
（11）任何命题公式都存在与之等值的主析取方式和主合取范式，并且是唯一的。证明如下：![]()
下面看几个例题：
（12）主析取范式的用途：a)求公式的成真赋值与成假赋值--若公式A中含有n个命题变项，A的主析取范式喊s个极小项，则A有S个成真赋值，他们是所含极小项角标的二级制表示。b)判断公式的类型:设公式A中含n个命题变项，容易看出：A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2^n个极小项；A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项，此时，记A的主析取范式为0；A为可满足时当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项。c)判断两个公式是否等值：设公式A，B含有n个命题变项，按n个命题变项求出A与B的主析取范式，如果主析取范式相等，那么A与B等值。
2.3 联结词的完备集
（1）n元真值函数：称F：{0,1}^n-->{0,1}为n元真值函数。
在这个定义中，F的自变量为n个命题变项，自变量的取值含有2^n个，同时对应的值域只有2个，即{0,1}.比如1元真值函数，自变量为{0，1}，值域为{0,1}。但是可以两两组合，就是说，自变量{0,1}不变，值域可能是{0,0}，{0,1}，{1,0}，{1,1}。比如下表，对于命题变项p，有取值1,0两个。而对应的值域取值有四种情况，对应就生成了4个真值函数：
下图是2元真值函数对应的表格，一共包含16个真值函数。也就是说，对于n个命题变项，一共可以构成2^（2^n）个真值函数。
（2）每个真值函数与唯一的一个主析取范式等值！对应的主析取范式包含的极小值为n个命题变项的取值对应的1的位置，比如上标中，F3，他是m2或m3，因为p，q取值分别为{1，0}，{1,1}，对应的真值函数取1，因此F3<=>m2或m3.
（3）联结词完备集：设S是一个联结词集合，如果任何的n（n>=1）元真值函数都可以由S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词完备集。与或非构成的集合时联结词完备集。同时，非或，非与，非蕴含两两组合也是完备集。完备集的基础上再增加新的连接词，也是完备集。
（4）与非联结词：见下图
2.4可满足性问题与消解法
略，自己体会