题目描述
一个正整数一般可以分为几个互不相同的自然数的和，如 3=1+23=1+2，4=1+34=1+3，5＝1+4=2+35＝1+4=2+3，6=1+5＝2+46=1+5＝2+4。
现在你的任务是将指定的正整数 nn 分解成若干个互不相同的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大。
输入格式
只一个正整数 nn，（3 \leq n \leq 100003≤n≤10000）。
输出格式
第一行是分解方案，相邻的数之间用一个空格分开，并且按由小到大的顺序。
第二行是最大的乘积。
输入输出样例
输入 #1复制
10
输出 #1复制
2 3 5 30
分析:
这题博主不会,我大致能想到如果允许重复的话,那么对半分应该乘积是最大的,但是不允许重复,真的没有什么思路
看看题解吧
本题要先用简单的数论和贪心找到最优解的组成方法，再用高精度乘法求积。
以2004为例，由于把2004分拆成若干个互不相等的自然数的和的分法只有有限种，因而一定存在一种分法,使得这些自然数的乘积最大。
若1作因数,则显然乘积不会最大。把2004分拆成若干个互不相等的自然数的和,因数个数越多，乘积越大。为了使因数个数尽可能地多，我们把2004分成2+3…+n直到和大于等于2004。
若和比2004大1，则因数个数至少减少1个，为了使乘积最大,应去掉最小的2，并将最后一个数（最大）加上1。
若和比2004大k（k≠1）,则去掉等于k的那个数,便可使乘积最大。
例如15：s=2+3+4+5+6刚好大于15，s-15=5，所以把5去掉。
又例如13：s=2+3+4+5刚好大于13，s-13=1,所以去掉2，并把5加1，即3 4 6。
高精度乘法我理解,最后可能会爆int,但是这个找的方法就很神奇,不知道为什么会这样想,往下翻翻,找到了其他题主的解释:
以下是本题的主要思路：
大家都清楚这题的意思，我们尽可能的把n分成更多份（都大于1）那样乘积最大。 （这里讲一下如果分出来的数可以重复，那么有时候并不是分出的份数越多越大，比如6，分成2,2,2不如分成3,3。但是不能重复的话就不存在这样的情况，大家可以想一下。） 以“6”为例，我们可以想到，我们先分出来一个2，然后再分出一个3......但是这样面临一个问题：“最后有余数怎么办”，比如“8”；分出来2,3还剩下3，没法再分出4，这时候怎么办呢？有的同学会想我把余数3都加到3身上，我们就分成了2和6，但是这样是最大的吗？（3和5才是最大的） 这时候我补充一下有一篇题解中所说：
“把余数分到大的数上比分到小的数上得到的乘积更大”。
实际不太准确，我们很容易证明出来如果能把数分到更小的数上，那么乘积更大（大家可以想想）。但是为什么最终是分到了大的数呢？就好比把6分成2,4，按照我们刚才的分法，先分出来了2和3最后余1，理论上我们把1给2得到的结果更大，但是我们不允许数重复，所以我们需要先把1给3，这样如果还剩下余数的话就分给2，所以当小的数被分配某个数后不会造成数的重复，那么优先给小的数分配，所以就像其他题解所说：
“从大数开始向前，依次分配1”。
所以对于8我们先分配出了2,3又余3，我们先分配1给3，得到2,4这时候2可以被分配，那么我们就分配给2一个1，得到3和4，这时候还余1，我们就分配给4，得到3,5。
这里我来解释一下点赞数最多的题解的思路。
以下为引用部分：
本题要先用简单的数论和贪心找到最优解的组成方法，再用高精度乘法求积。
以2004为例，由于把2004分拆成若干个互不相等的自然数的和的分法只有有限种，因而一定存在一种分法,使得这些自然数的乘积最大。
若1作因数,则显然乘积不会最大。把2004分拆成若干个互不相等的自然数的和,因数个数越多，乘积越大。为了使因数个数尽可能地多，我们把2004分成2+3…+n直到和大于等于2004。
若和比2004大1，则因数个数至少减少1个，为了使乘积最大,应去掉最小的2，并将最后一个数（最大）加上1。
若和比2004大k（k≠1）,则去掉等于k的那个数,便可使乘积最大。
例如15：s=2+3+4+5+6刚好大于15，s-15=5，所以把5去掉。
又例如13：s=2+3+4+5刚好大于13，s-13=1,所以去掉2，并把5加1，即3 4 6。
大家可能觉得这个和我们刚才所讲的不太一样，为什么要减呢？怎么想到的呢？显然这样减，比我们一个个循环加更快。
我来帮大家推导一下：
我们分出来了2,3,4......n这n-1个数然后余数是K（1<=K<=n）。
如果K==n,我们需要进行两轮分配，意思是从n分配到2还剩下1，需要再回去把1分配给最大的数（也就是n+1）最终得到3,4,5......n+2这也就应对了上文题解中的情况2；
如果K<n，我们进行一轮分配就好因为我们的余数是K，那么分配到n+1-K就停止了，拿15举例，先分配出了2,3,4,5余1，我们分配到5就停止了，（n+1-K=5）。 对于上篇题解他先分配出2,3,4......n,n+1。因为我们分出来n-1个数余数是K，而分配出n+1后会造成数不够，还差n+1-K,那么这也就对应前两行我们推导出的结果，去掉n+1-K,就相当于分配到了n+1-K，应为n+1-K经过分配后变成了，n+2-K，这不就相当于去掉了吗。所以这相当于找规律了。
基本思想就是,对于一个数S,先用2+3+4+....+n的方法,找到和S临界的那个n,如果这一串数字刚好等于S,那么显而易见,答案就是2*3*4*...*n,但是情况并不总是这样
如果这一串数字的和比S大呢,假设大K,即余数为K,那么又该如何?
如果这个余数K==最后一个数字n,那么显而易见,给这一组数(n-1个数),每人分配一个1,就会变成3+4+5+...+n+(n+1),那么还多一个1,怎么分呢,总不能就补一个1上去吧,变成1+3+4+5+...+n+(n+1),这样分是可以,但是乘积并不是最大,为什么?因为1乘任何数都没有变化,反而白白浪费了1这个数。那加到最小的3上面?如果允许重复,那么加到3上面会让乘积最大(因为3最小,让最小的数变大,总乘积会最大化,很简单就可以验证),但是很遗憾不允许重复,那么就只有加到n+1身上了,变成n+2,即式子变成3+4+5+...+n+(n+2)
如果余数K<最后一个数字n呢,那就把2+3+4+....+n这组数从最后一个n开始,每个数加1,直到K分配完了为止,最后就会变成2+3+4+...+m+(m+2)+(m+3)+....+n+(n+1)+(n+2),请注意,中间断开了,没有m+1这一项,因为K分配到m+1之前,就已经用完了,这就是使乘积最大的序列了,有人会问,这和那个答主给的答案有什么关系呢?大家看我分析
按照答主的方式,直接找到2+3+4+5+....+n+(n+1)+(n+2),使得这一串数字大于S(注意是大于,前面分析的都是不大于),然后呢,大了K,那么怎么办,去掉其中值为K的那个数,而那个数在哪呢,如果你仔细分析,就会发现就是上一段中断开的m+1,即从这一串2+3+4+5+....+n+(n+1)+(n+2)挖去m+1,变成2+3+4+...+m+(m+2)+(m+3)+....+n+(n+1)+(n+2),和上面一模一样。
其他的不多说了,上代码吧
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;
string add(string str1,string str2);
string mul(string str1,string str2);
string calc();
vector<int> list;
string ans;
int main()
{
int n;
cin>>n;
int sum=0;
for(int i=2;sum<n;i++)
{
list.push_back(i);
sum+=i;
}
if(sum==n)//恰好多项式==n
{
ans=calc();
}
else if(sum>n)//多项式>n
{
int k=sum-n;
if(k==1)//刚好差1,舍弃2,最大位+1
{
list.erase(list.begin(),list.begin()+1);
list[list.size()-1]+=1;
ans=calc();
}
else//否则删除list中=k的那一项
{
vector<int>::iterator it;
int flag=0;
for(it=list.begin();it<list.end();it++)
{
if(*it==k)
{
list.erase(it,it+1);
flag=1;
}
if(flag)
break;
}
ans=calc();
}
}
cout<<ans;
return 0;
}
string add(string str1,string str2)
{
if(str1.length()<str2.length())
{
string s;
s=str1;
str1=str2;
str2=s;
}
string str;
int len1=str1.length();
int len2=str2.length();
int dis=len1-len2;
int cf=0;
for(int i=len2-1;i>=0;i--)
{
int temp=str1[i+dis]-'0'+str2[i]-'0'+cf;
cf=temp/10;
temp=temp%10;
str=char(temp+'0')+str;
//cout<<"cf is "<<cf<<" temp is "<<temp<<endl;
}
for(int i=dis-1;i>=0;i--)
{
int temp=str1[i]-'0'+cf;
cf=temp/10;
temp=temp%10;
str=char(temp+'0')+str;
}
if(cf>0)
str=char(cf+'0')+str;
if(str.find_first_not_of('0')==str.npos)
str="0";
else
str.erase(0,str.find_first_not_of('0'));
return str;
}
string mul(string str1,string str2)
{
if(str1.length()<str2.length())
{
string s;
s=str1;
str1=str2;
str2=s;
}
string str="0";
string tempstr;
int len1=str1.length();
int len2=str2.length();
int dis=len1-len2;
int cf=0;
for(int i=len2-1;i>=0;i--)
{
tempstr.clear();
cf=0;
for(int j=len1-1;j>=0;j--)
{
int temp=(str1[j]-'0')*(str2[i]-'0')+cf;
//cout<<"temp is "<<temp<<endl;
cf=temp/10;
//cout<<"cf is "<<cf<<endl;
temp=temp%10;
tempstr=char(temp+'0')+tempstr;
//cout<<endl;
}
if(cf>0)
tempstr=char(cf+'0')+tempstr;
for(int k=1;k<=len2-1-i;k++)
tempstr=tempstr+'0';
if(tempstr.find_first_not_of('0')==tempstr.npos)
tempstr="0";
else
tempstr.erase(0,tempstr.find_first_not_of('0'));
//cout<<"tempstr is "<<tempstr<<endl;
str=add(str,tempstr);
//cout<<"str is "<<str<<endl;
}
if(str.find_first_not_of('0')==str.npos)
str="0";
else
str.erase(0,str.find_first_not_of('0'));
return str;
}
string calc()
{
int flag=0;
vector<int>::iterator it1;
for(it1=list.begin();it1<list.end();it1++)
{
if(flag==0)
{
cout<<*it1;
flag=1;
}
else
cout<<" "<<*it1;
}
cout<<endl;
vector<int>::iterator it;
it=list.begin();
string s1;
s1=char(*it+'0')+s1;
//cout<<"s1: "<<s1<<endl;
for(it=list.begin()+1;it<list.end();it++)
{
string s2;
int temp=*it;
while(temp)//当*it为两位,即12,13..时,无法通过 s2=char(*it+'0')+s2;一次获取s2了
{
int tempyu=temp%10;
s2=char(tempyu+'0')+s2;
temp=temp/10;
}
//cout<<"s2: "<<s2<<endl;
s1=mul(s1,s2);
//cout<<"s2 is "<<s2<<" s1: "<<s1<<endl;
}
return s1;
}