题目概述
给出一张图，每个节点有权值，每条边也有边权（正）。
求：
- 最短路的条数
- 所有最短路径中，点权和的最大值
解法
题为单源最短路问题，本文使用了Dijkstra算法（才不是因为第一天做PAT，只找到之前NOIP的Dijkstra板子，复制了一下就用了）
最短路径条数求取
Dijkstra算法的核心在于松弛操作。如果要对最短路条数进行计数，只需要在松弛操作时加上技术操作即可。
设问题中起点为s；当前选中边起点为u，终点为v，权值为val；s点到i点的当前最短路径长为dist[i]，s点到i点的当前最短路径有path_cnt[i]条。有如下两种更新操作：
- 如果当前的dist[u]+val < dist[v]
即“之前到v的路径不是最短路”。则更新dist[v]为dist[u]+val，同时更新path_cnt[v]为path_cnt[u]。“要去v当前只知道从u走过去这一条最短路，所以如果走到u共有path_cnt[u]条路的话，走到v的最短路条数也只有path_cnt[u]条路啦。 - 如果当前的dist[u]+val == dist[v]
即“又找到了和之前最短路径长度一条最短路”。则更新操作为给新找到的最短路计数。走到u共有path_cnt[u]条路的话，新增的走到v的最短路条数就有path_cnt[u]条路啦。
所有最短路径中，点权和的最大值求取
此问题和上一个问题思路一致：在找到“更短的路径”时，更新team_cnt[e.v] = team_cnt[e.u] + a[e.v]，在找到“同样短的路径”时，判断这条路径是否有更大的点权和，如果是，则更新team_cnt[e.v] = team_cnt[e.u] + a[e.v]
核心代码
dist[s] = 0;
path_cnt[s] = 1;
team_cnt[s] = a[s];
q.push(HeapNode(s, 0));
while (!q.empty()) {
HeapNode x = q.top(); q.pop();
int u = x.u;
if (done[u]) continue;
done[u] = true;
for (int i = 0; i < g[u].size(); i++)
{
Edge& e = edges[g[u][i]];
if (dist[e.v] == dist[e.u] + e.val)
{
path_cnt[e.v] += path_cnt[e.u];
if (team_cnt[e.u] + a[e.v] > team_cnt[e.v])
{
team_cnt[e.v] = team_cnt[e.u] + a[e.v];
}
}
if (dist[e.v] > dist[e.u] + e.val)
{
dist[e.v] = dist[e.u] + e.val;
q.push(HeapNode(e.v, dist[e.v]));
path_cnt[e.v] = path_cnt[e.u];
team_cnt[e.v] = team_cnt[e.u] + a[e.v];
}
}
}
buglist
- 此题图为无向图，最开始建图的时候忘记添加双向边的代码，wa的莫名其妙