圖與網絡的基本概念與數據結構

一.圖與網絡的基本概念

圖論中圖是由點和邊構成的，可以反映一些對象之間的關係。

無向圖

無向圖（簡稱圖）：沒有方向，由點和邊構成的圖，記做G =(V , E)，點是V，邊是E。
注：圖論的圖與幾何圖、工程圖不一樣。
因爲一般情況下的圖中點的相對位置及點間連線長短，對於反映對象之間的關係並不是重要的。

聯結 $v_i{_1}$ 和 $v_{ik}$ 的鏈:在無向圖G中，若存在一個點邊的交錯序列（ $v_{i1},e_{i1},v_{i2},e_{i2},...v_{i_{k-1}},e_{i_{k-1}},c_{ik}$ ）其中 $v_{ik}$ 屬於V(G), $e_{ij}$ 屬於E（G）

聯結 v_{i1} 和 v_{ik} 的圈：在上述的鏈中，若 v_{i1} = v_{ik}，也就是首尾相連。

連通圖：對於一個無向圖，若任何兩個不同的點之間，至少存在一條鏈。

簡單圖：一個圖如果它既沒有環也沒有平行邊（兩條邊連接同一對頂點）,稱爲簡單圖(simple graph)。

完全圖:其中每對不同的頂點之間都恰連有一條邊相連

賦權圖：對無向圖的每一條邊（ $v_i,v_j$ ），都有一個數（稱爲權重） $w_{ij}$ 對應。

二分圖又稱作二部圖，是圖論中的一種特殊模型。設G=(V,E)是一個無向圖，如果頂點V可分割爲兩個互不相交的子集(A,B)，並且圖中的每條邊（i，j）所關聯的兩個頂點i和j分別屬於這兩個不同的頂點集(i in A,j in B)，則稱圖G爲一個二分圖

頂點的度：與頂點v關聯的邊的個數稱爲頂點v 的
度(degree) （環計兩度），記作 d(v) .
度爲零的點稱爲弧立點，度爲1的點稱爲懸掛點。懸掛點的關聯邊稱爲懸掛邊。度爲奇數的點稱爲奇點(odd point) ，度爲偶數的點稱爲偶點(even point) 。

有向圖

有向圖：由點和弧構成的圖，記做D =(V , A)，其中V是圖D的點集，A是圖D的弧集。
注：無向圖是一種特殊的有向圖，無向圖的邊實際上就是等價於兩條方向相反的弧。
聯結 $v_i{_1}$ 和 $v_{ik}$ 的路:在無向圖G中，若存在一個點邊的交錯序列（ $v_{i1},e_{i1},v_{i2},e_{i2},...v_{i_{k-1}},e_{i_{k-1}},c_{ik}$ ）其中 $v_{ik}$ 屬於V(D), $e_{ij}$ 屬於V（D）
*聯結 v_{i1} 和 v_{ik} 的迴路：在上述的鏈中，若 v_{i1} = v_{ik}，也就是首尾相連。
賦權圖：對無向圖的每一條弧（ $v_i,v_j$ ），都有一個數（稱爲權重） $c_{ij}$ 對應。
網絡：在賦權的有向圖D中指定一點爲發點(記爲 $v_s$ )，指定另一點爲收點(記爲 $v_t$ )，其餘的點爲中間點，並把 D 中的每一條弧的賦權數 $c_ij$ 稱爲弧 $(v_i,v_j)$ 的容量，這樣的賦權有向圖 D 就稱爲網絡。

二.圖與網絡的數據結構

描述圖與網絡的3種常用表示方法：鄰接矩陣表示法、關聯矩陣表示法、弧表表示法

鄰接矩陣表示法

鄰接矩陣表示法是將圖以鄰接矩陣（adjacency matrix）的形式存儲在計算機中。圖 G=(V,A) 的鄰接矩陣是如下定義的：C是一個 $n*n$ 的0-1矩陣，即

也就是說，如果兩節點之間有一條弧，則鄰接矩陣中對應的元素爲1；否則爲0。

例一：對於下圖，可以用鄰接矩陣表示爲

解釋：現在有五個圖，鄰接矩陣a就是 $5*5$ 的方陣，∵ 1→2，∴a[1][2]=1；
∵1→3所以a[1][3]=1；∵ 4→3，∴a[4][3]=1，其他都是一樣的，所有的都寫出來就是：
同樣，對於網絡中的權，也可以用類似鄰接矩陣的矩陣表示。只是此時一條弧所對應的元素不再是1，而是相應的權而已。如果網絡中每條弧賦有多種權，則可以用多個矩陣表示這些權。

關聯矩陣表示法

關聯矩陣表示法是將圖以關聯矩陣（incidence matrix）的形式存儲在計算機中．
圖 $B=(b_{ik})_{n*m}\in({-1 ,0 ,1}) ^{n*m}$ 的關聯矩陣B是如下定義的：B是一個n*m的矩陣，即

如果一個頂點是一條弧的起點，則關聯矩陣中對應的元素爲1；如果一個頂點是一條弧的終點，則關聯矩陣中對應的元素爲-1；如果一個頂點與一條弧不關聯，則關聯矩陣中對應的元素爲0。

例2 對於例1所示的圖，如果關聯矩陣中每列對應弧的順序爲 (1,2)，(1,3)，(2,4)，(3,2)，(4,3)，(4,5)，(5,3)和(5,4)，則關聯矩陣表示爲（列單位爲弧）
這個圖有4個節點，7條連線，所以是 $4*7$ 的矩陣，每一列都是隻有一個1，一個 -1。
看e1這條線，頭是v1尾是v2，所以v1=1，v2=-1
e3，頭是v3，尾是v4，所以v3是1，v4是-1；
)

弧表表示法

弧表表示法將圖以弧表（arc list）的形式存儲在計算機中。所謂圖的弧表，也就是圖的弧集合中的所有有序對。
假設例1中的弧(1,2)，(1,3)，(2,4)，(3,2)，(4,3)，(4,5)，(5,3)和(5,4)上的權分別爲8，9，6，4，0，3，6和7，則弧表表示如下：

最短路問題 (Shortest Path Problem)

最短路問題：對一個賦權有向圖中指定的兩個點 $v_s$ 和 $v_t$ 找到條從 $v_s$ 到 $v_t$ 的路，使得這條路上所有弧的權數總和最小，這條路被稱爲從 $v_s$ 到 $v_t$ , 的最短路，這條路_上所有弧的權數的總和被稱爲從 $v_s$ 到 $v_t$ 的距離。

Dijkstra算法

如上圖，帶權值的最短路徑長度就是黃線標出來的爲7
求解最短路的迪克斯特拉Dijkstra算法(雙標號法）
雙標號即：對圖中的點 $v_j$ 賦予兩個標號 $(l_j,k_j)$ ，其中 l_j 表示從起點 $v_s$ 到 $v_j$ 的最短路的長度， $k_j$ 表示在 $v_s$ 至 $v_j$ 的最短路上前面一個鄰點的下標，從而找到所求的最短路及其距離。

${\mathbb{\color{Red}下面給出Dijkstra算法的基本步驟：}}$

先給起點 $v_s$ 標號:(0,s)，表示從 $v_s$ 到 $v_s$ 的距離爲0， $v_s$ 爲起點。
找出已標號的點集 I ，未標號的點集 J 以及從 I 到 J 的弧集。
若上述弧集是空集，則計算結束。此時，如果 $v_t$ 已標號 (l_t,k_t) 則 $v_s$ 到 $v_t$ 的距離爲 $l_t$ ，而從 $v_s$ 到 $v_t$ 的最短路，可以從 $k_t$ 反向追蹤到起點 $v_s$ 而得到。如果 $v_t$ 未標號，則不存在從 $v_s$ 到 $v_t$ 的有向路。若上述弧集不是空集，則轉下一步。
對上述弧集中的每一條弧，計算 $s_{ij}=l_i+c_{ij}$ 在所有的 $s_{ij}$ 中，找值最小的弧，不妨設爲 $(v_c,v_a)$ 則給此弧的終點 $v_a$ 標號 $(s_cd,c)$ ，返回步驟2.

標號（m,n）m是權重，n是前一個節點

同時，我們可以從各點的標號得到起點到該點的最短路徑及距離。

用行向量pb表示P標號信息，index1表示標號頂點順序， index2表示標號頂點索引，d表示最短路的值.

clc,clear
a=zeros(6); %鄰接矩陣初始化
a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;
a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;
a(3,4)=10;a(3,5)=20;
a(4,5)=10;a(4,6)=25;
a(5,6)=55;
a=a+a';
a(a==0)=inf;
pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a));
d(1:length(a))=inf;d(1)=0;
temp=1; %最新的P標號的頂點
while sum(pb)<length(a)
   tb=find(pb==0);
   d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));
   tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));
   temp=tb(tmpb(1)); %可能有多個點同時達到最小值，只取其中的一個
   pb(temp)=1;
   index1=[index1,temp];
   temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));
   index2(temp)=index1(temp2(1));
end
d, index1, index2

程序過程就不具體分析了，只看看輸出吧。
d代表距離，在這個題裏代表票價，代表c1分別到c1，c2，c3,c4,c5,c6的距離
index1代表標號順序
index2代表該標號的前一個標號

d =
    0    35    45    35    25    10
index1 =
     1     6     5     2     4     3
index2 =
     1     6     5     6     1     1

第一個標號的是自身c1，不用管，從第二個開始c1→c6，可以看到c6的前一個節點是1，所以c1直接到了c6.距離d=10；
第三個是c5，也是c1直接到的，距離d=25;
第四個c2，可以看到c2的前一個節點是c6，c6的前一個節點是c1，所以c1到c2的最短距離爲c1先到c6再從c6到c2，距離爲40
其他的以此類推

Floyd算法

主要用來計算每對頂點之間的最短路徑。
Dijkstra算法用來計算一對頂點之間的最短路徑。

Floyd算法的基本思想是：遞推產生一個矩陣序列 $A_0,A_1...A_k...A_n$ ，其中 $A_k(i,j)$ 表示從頂點 $v_i$ 到頂點 $v_j$ 的路徑上所經過的頂點序號不大於k的最
短路徑度。迭代公式爲：

k是迭代次數， $i,j,k=1 ，2，3，...n$ 最後，當k=n時，即是各頂點之間的最短通路值。
這個算法要產生兩個矩陣
這個算法就是找一箇中間點，通過判斷兩個頂點的直接距離與通過中間點的簡介距離的遠近比較（近的爲優）來不斷對兩個矩陣進行更新。

A代表每兩個點之間的距離，path是每兩個點之間的最短路徑經過的中間點，一開始沒有中間點，所以設置爲-1，代表沒有中間點。

這個是找一箇中間點，一般是從0開始，再找1 2 3，這樣過一遍。

我們直接用1開始吧，因爲我算了，0沒有更新。
算自身和自身都是0沒啥意思，兩兩連接就是這12對頂點。
{0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 0}, {1, 2}, {1, 3),
{2, 0}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 0}, {3, 1}, {3, 2}

｛0，1｝：因爲要經過1，所以可以看成是 $A[0][1]=A[0][1]+A[1][1]$ ，左右相等，不更新
｛0，2｝： $A[0][2]>A[0][1]+A[1][2] \rightarrow \infin >5+4$ 所以更新，Path矩陣的A[0][2]更新爲1（因爲中間點是1）A矩陣中的A[0][2]更新爲9
這是經過中間點爲1跟新後的兩個新矩陣
｛0，3｝： $A[0][3]>A[0][1]+A[1][3] \rightarrow 7 =5+2$ 不更新
｛1，2｝｛1，3｝｛1，0｝都經過1，不更新，剩下的自己算吧，當然我算了，沒有更新。

再以頂點2爲中間點進行檢測

｛0，1｝： $A[0][1]<A[0][2]+A[2][1] \rightarrow 5<9+3$ 不更新
｛0，2｝｛2，0｝ {2,1}｛2，3｝有2不用算
｛0，3｝： $A[0][3]<A[0][2]+A[2][3] \rightarrow 7<9+2$ 不更新
｛1，0｝： $A[1][0]=A[1][2]+A[2][0] \rightarrow \infin >4+3$ 更新
｛3，0｝ $A[3][0]>A[3][2]+A[2][0] \rightarrow 4 =1+2$ 不更新
兩個矩陣都分別跟新爲如下兩個
後面也都是一樣，上次更新後直接以上次更新的那個矩陣爲基礎進行計算。這是以2爲中間點進行更新的結果
這是3爲中間點進行更新的結果

弗洛伊德算法就是利用矩陣的不斷更新進行運算
當然FLoyd算法也有MATLAB程序
以Dijkstra算法那個例題爲例，進行計算

clear;clc;
n=6; a=zeros(n);
a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;
a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25; a(3,4)=10;a(3,5)=20;
a(4,5)=10;a(4,6)=25; a(5,6)=55;
a=a+a'; 
a(a==0)=inf; %把所有零元素替換成無窮
a([1:n+1:n^2])=0; %對角線元素替換成零，Matlab中數據是逐列存儲的
path=zeros(n);
for k=1:n
   for i=1:n
      for j=1:n
         if a(i,j)>a(i,k)+a(k,j)
            a(i,j)=a(i,k)+a(k,j);
            path(i,j)=k;
         end 
      end
   end
end
a, path

a =

     0    35    45    35    25    10
    35     0    15    20    30    25
    45    15     0    10    20    35
    35    20    10     0    10    25
    25    30    20    10     0    35
    10    25    35    25    35     0


path =

     0     6     5     5     0     0
     6     0     0     0     4     0
     5     0     0     0     0     4
     5     0     0     0     0     0
     0     4     0     0     0     1
     0     0     4     0     1     0

可以看到輸出a是一個對稱矩陣，代表兩個點之間的距離，path代表路徑，如[1，2]的數值是6，也就是經過了6這個中間點。

是不是隻有距離這種題才能用這個模型呢？

例
設備更新問題。某公司使用一臺設備，在每年年初，公司就要決定是購買新的設備還是繼續使用舊設備。如果購置新設備，就要支付一定的購置費，當然新設備的維修費用就低。如果繼續使用舊設備，這樣可以省去了購置費，但維修費用就高了。現在需要我們制定一個五年之內的更新設備的計劃，使得五年內購置費和維修費總的支付費用最小。

這種設備每年年初的價格如下表

另外，還已知使用不同時間（年）的設備所需要的維修費如下圖

用點vi 表示第 i 年年初購進一臺新設備，i=1, 2, 3, 4, 5, 6.
用弧 (vi,vj) 表示在第 i 年年初購進的設備一直使用到第 j 年年初，其中i<j
化爲最短路問題後，相應的圖示如下：

相應地，把費用轉化爲圖中弧的權數。

對於弧 (vi,vj) ，其權數爲從第 i 年年初購進設備使用到第 j-1 年年底所花費的購置費及維修費的總和。如下：

下面把計算得到的權數賦到圖上，得到賦權圖，則求解五年
內購置費和維修費總費用最小的問題就轉化爲從賦權圖中求解一
條從 v1 到v6 的最短路問題。

最短路徑：
$v1→v3→v6$ 即：第1年初購置的新設備使用到第3年初 (第2年底) ，第3年初再購置新設備使用到第6年初 (第5年底) 。
$v1→v4→v6$ 即：第1年初購置的新設備使用到第4年初 (第3年底) ，第4年初再購置新設備使用到第6年初 (第5年底)
兩個路徑耗費的金錢是一樣的
用MATLAB

clear;clc;
n=6; a=zeros(n);
a(1,2)=16;a(1,3)=22;a(1,4)=30;a(1,5)=41;a(1,6)=59;
a(2,3)=16;a(2,4)=22;a(2,5)=22;a(2,6)=41; 
a(3,4)=17;a(3,5)=23;a(3,6)=31;
a(4,5)=17;a(4,6)=23;
a(5,6)=18;
a=a+a'; 
a(a==0)=inf; %把所有零元素替換成無窮
a([1:n+1:n^2])=0; %對角線元素替換成零，Matlab中數據是逐列存儲的
path=zeros(n);
for k=1:n
   for i=1:n
      for j=1:n
         if a(i,j)>a(i,k)+a(k,j)
            a(i,j)=a(i,k)+a(k,j);
            path(i,j)=k;
         end 
      end
   end
end
a, path

下一篇數學建模之圖論——圖與網絡模型（二）（最小生成樹問題、最大流問題） https://blog.csdn.net/weixin_45755332/article/details/106946149

數學建模之圖論——圖與網絡模型（一）（基本概念和最短路問題，附MATLAB源碼）

圖與網絡的基本概念與數據結構

一.圖與網絡的基本概念

無向圖

有向圖

二.圖與網絡的數據結構

鄰接矩陣表示法

關聯矩陣表示法

弧表表示法

最短路問題 (Shortest Path Problem)

Dijkstra算法

Floyd算法

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