數學建模——相關係數（2）——假設檢驗

一、引述

在上一篇文章中，我們已經介紹瞭如何求解Person相關係數。那麼如何解釋相關係數的大小呢？事實上，如果我們只是通過相關係數大小去判斷兩個變量之間的相關性，這種做法是不嚴謹的。因爲對相關係數的解釋依賴於具體的應用背景和目的的。因此，相比較於相關係數的大小，我們往往更關注於顯著性。而求解顯著性，則需要假設檢驗方法。

二、假設檢驗

請仔細閱覽下一部分。

三、對皮爾遜係數進行假設檢驗

1. 步驟

1. 提出原假設（零假設）H₀和備擇假設H₁（兩者假設是截然相反的）。
   假設我們得到了一個皮爾遜相關係數r，我們想檢驗它是否顯著的異於0，那麼我們可以這樣設定原假設和備擇假設：H₀：r = 0，H₁：r ≠ 0。（通常來說，備擇假設纔是研究者最想知道的）（r ≠ 0，是一個雙側檢驗，因爲其可以分爲兩個單側檢驗：r > 0, r < 0）

2. 在原假設成立的條件下，利用我們要檢驗的量構造出一個符合某一分佈的統計量。（統計量相當於我們要檢驗的量的一個函數，裏面不能有其他的隨機變量）（分佈一般有四種：標準正態分佈、t 分佈、卡方分佈、F分佈）
   對於皮爾遜相關係數r而言，在滿足一定條件下，我們可以構造統計量（式子中n爲已知的樣本量）：
   
   可以證明，t是服從自由度爲n-2的t分佈。

3. 將我們要檢驗的r值代入該統計量中，可以得到一個特定的值（檢驗值，在之後的步驟中我們要看這個檢驗值是放到）。
   例如，我們計算出的相關係數r = 0.5，樣本量n = 30，那麼我們可以求出 t = 3.05505

4. 由於我們知道統計量的分佈情況，因此我們可以畫出該分佈的概率密度函數pdf，並給定一個置信水平α（願意接受H₀成立的概率），根據這個置信水平查表找到臨界值，並畫出檢驗統計量的接受域和拒絕域。
   緊接之前的例子，我們知道上述統計量服從自由度爲28（30-2）的t分佈，其概率密度函數圖形如下：
   使用matlab繪製該概率密度函數pdf的代碼如下：

    x = -4:0.1:4; % x從-4取到4間隔爲0.1
    y = tpdf(x,28); % 第一個參數爲給定的一組數據，第二個參數是自由度
    plot(x,y,'-') % 繪製圖線
    grid on  % 在畫出的圖上加上網格線
   

   常見的置信水平有三個：90%，95%和99%，其中95%是最爲常用的。
   
   通過查t分佈表，我們可知當自由度爲28，置信水平爲95%時，臨界值爲2.048，因此我們可以做出如下的接受域和拒絕域。
   [因爲我們採用的是雙側檢驗，因爲置信水平爲0.95，則拒絕域之和爲0.05，即，一側爲0.025。所以，其對應的t分佈表中的t_p = 0.975，於是再根據自由度28，即可鎖定臨界值2.048]
   

5. 看我們在第三步得到的檢驗值是落在了拒絕域還是接受域，並下結論。
   在第三步中，我們得到的檢驗值 t = 3.05505 > 2.048*，因此我們可以下結論：在95%的置信水平上，我們拒絕原假設H₀：r = 0，因此，r是顯著的不爲0的。

2.更好用的方法：p值判斷法

1. 何爲p值？
   p值是一種概率，是拒絕原假設的最小顯著性水平，是用於確定是否應該拒絕原假設的另一種方法。
2. 如何使用？
   在上述步驟的第三步中，我們得到了一個檢驗值 t* = 3.05505，根據該值，我們計算其對應的p值(即，(1-紅色方塊區域左側的概率)，但是在本例中，由於採用的是雙側檢驗，因此應當×2，即(1 - 紅色方塊區域左側的概率)×2)。
   matlab代碼對應如下：

   disp('該檢驗值對應的p值爲：')
   disp((1-tcdf(3.055,28)) * 2) 
   % 雙側檢驗的p值要乘以2，tcdf是t分佈的累計概率密度函數
   % tcdf(3.055,28)指x=3.055且自由度爲28的累積密度函數
   

   最後我們計算得到的p值爲0.0049

   p值的意義：
   	p < 0.01，說明在99%的置信水平上拒絕原假設；
   	p < 0.05，說明在95%的置信水平上拒絕原假設；
   	p < 0.10，說明在90%的置信水平上拒絕原假設；
   同理，可得：
   	p > 0.01，說明在99%的置信水平無法拒絕原假設；
   	p > 0.05，說明在95%的置信水平無法拒絕原假設；
   	p > 0.10，說明在90%的置信水平無法拒絕原假設。
   

   ∵ p = 0.0049 < 0.05
   ∴ 本例中，在95%的置信水平上拒絕原假設，即皮爾遜相關係數顯著的異於0.

注：在論文寫作中我們通常使用以下方式確定該相關係數的顯著性：

相關係數	" * "的意義
0.5	不顯著，即無法拒絕原假設
0.5*	在90%的置信水平上顯著，即在90%的置信水平上拒絕原假設
0.5**	在95%的置信水平上顯著，即在95%的置信水平上拒絕原假設
0.5***	在99%的置信水平上顯著，即在99%的置信水平上拒絕原假設

三、皮爾遜相關係數檢驗的條件

1. 實驗數據通常是成對的來自於正態分佈的總體。
   因爲我們在求出皮爾遜相關係數以後，通常還會用t檢驗之類的方法進行皮爾遜相關係數檢驗，而t檢驗是基於數據呈正態分佈的假設的。
2. 實驗數據之間的差距不能太大。皮爾遜相關係數受異常值影響較大（詳情見第一節圖）。
3. 每組樣本之間是獨立抽樣的。構造t統計量時需要用到。

相關參考資料：百度百科、百度文庫、清風數學建模