1、題目描述
書籍複印 · Copy Books https://www.jiuzhang.com/problem/copy-books/
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給定 n 本書, 第 i 本書的頁數爲 pages[i]. 現在有 k 個人來複印這些書籍, 而每個人只能複印編號連續的一段的書,
比如一個人可以複印 pages[0], pages[1], pages[2], 但是不可以只複印 pages[0], pages[2], pages[3] 而不復印 pages[1].
所有人複印的速度是一樣的, 複印一頁需要花費一分鐘, 並且所有人同時開始複印. 怎樣分配這 k 個人的任務, 使得這 n 本書能夠被儘快複印完?
返回完成複印任務最少需要的分鐘數.
輸入: pages = [3, 2, 4], k = 2
輸出: 5
解釋: 第一個人複印前兩本書, 耗時 5 分鐘. 第二個人複印第三本書, 耗時 4 分鐘.
2、代碼詳解
法一：二分+貪心（O(nlog(sum)) 是該問題時間複雜度上的最優解法）
n:書本數目, sum:總頁數
class Solution:
'''
給定 n 本書, 第 i 本書的頁數爲 pages[i].
現在有 k 個人來複印這些書籍, 而每個人只能複印編號連續的一段的書
怎樣分配這 k 個人的任務, 使得這 n 本書能夠被儘快複印完?
返回完成複印任務最少需要的分鐘數.
'''
def copyBooks(self, pages, k):
if not pages:
return 0
# 答案的範圍在 max(pages)~sum(pages) 之間
# 完成時間的lower bound: max(pages), 理解爲一共有len(pages)個人，每個人只複印一本書
# 完成時間的upper bound: sum(pages), 理解爲只有一個人要獨自複印所有的書
start, end = max(pages), sum(pages)
# 二分：對於 完成時間 進行二分查找，查找最小的 時間, 使得任務可以完成
# 找到第一個 不多於K個人能在給定的完成時間裏完成 複印len(pages)本書 這一任務的 完成時間
while start + 1 < end:
mid = (start + end) // 2 # 每次二分到一個時間 time_limit（時限）
# 如果這個值 <= k，那麼意味着大家花的時間可能可以再少一些
if self.get_least_people(pages, mid) <= k:
end = mid
# 如果 > k 則意味着人數不夠，需要降低工作量
else:
start = mid
if self.get_least_people(pages, start) <= k:
return start
return end
# 用貪心法從左到右掃描一下 pages，看看需要多少個人來完成抄襲
# 給定 時限time_limit，求多少人
def get_least_people(self, pages, time_limit):
count = 0
time_cost = 0
for page in pages:
if time_cost + page > time_limit: # 超出time_limit加人，新人的cost需清零算
count += 1
time_cost = 0
time_cost += page # 累加單人 連續抄書的時間（不能超出time_limit）
return count + 1
pages = [3, 2, 4]
k = 2
s = Solution() # 5, 第一個人複印前兩本書, 耗時 5 分鐘. 第二個人複印第三本書, 耗時 4 分鐘
print(s.copyBooks(pages, k))
法二：劃分型DP（Java）
算prefix sum的好處是：在求某一段的和時直接相減就能得到結果，pagesj+...+pagesi = prefixSumi - prefixSumj
public class Solution {
public int copyBooks(int[] A, int K) {
int n = A.length;
if (n == 0) return 0;
if (K > n) K = n;
int[][] f = new int[K+1][n+1]; // K個copier，抄完n本書需要時間
// Initialize
// 事先設置好前綴和，後面減少一次循環
int[] prefixA = new int[n+1];
Arrays.fill(prefixA, 0);
for (int i = 1; i <= n; ++i) prefixA[i] = prefixA[i-1] + A[i-1];
// 0 個 copier，無窮大時間
for (int i = 0; i <= n; ++i) f[0][i] = Integer.MAX_VALUE;
// 0 本書，不管幾個copier耗時都是0
for (int k = 0; k <= K; ++k) f[k][0] = 0;
//狀態轉移方程
//f[k][i] = min (j=0...i) {max{f[k-1][j], A[j]+...+A[i-1]}}
for (int k = 1; k <= K; ++k) { // 枚舉 k 從 1 到 K
for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 枚舉 書 1 到 n
f[k][i] = Integer.MAX_VALUE;
for (int j = 0; j < i; ++j) {
// 枚舉之前K-1個人抄了j本書的情況，和剩下的書所時間比較取其大，再刷新當前最小記錄
f[k][i] = Math.min(f[k][i], Math.max(f[k-1][j], prefixA[i] - prefixA[j]));
}
}
}
return f[K][n];
}
}
f[k][i]爲前k個抄寫員最少需要多少時間抄完前i本書
