Codeforces Round #343 (Div. 2) C. Famil Door and Brackets（dp）

題意:

給定M≤N≤105,N−M≤2000,M爲原始括號序列s的長度,現要求尋找p,q括號序列
要求|p+s+q|=N,且新序列左右括號數相等,並且任意前綴左括號數大於右括號數
求合法的(p,q)方法數

分析:

考慮dp,括號序列經典的表示方式就是平衡,f[i][j]:=長度i平衡爲j的合法括號序列數
轉移的時候首先要求括號序列合法(即任意前綴的平衡非負),其次直接根據平衡轉移就可以了
預處理出f之後,來累加一下題目要求的(p,q)答案
對於p,要滿足p+q括號序列合法(即任意前綴的平衡非負)
假設p的平衡爲j,q的平衡爲b,最小平衡爲minB,顯然要滿足j+minB≥0
並且由於後面還有q,所以要留夠長度,滿足j+b≤min(i+m,n−i−m)
剩餘的q的平衡應該是−(j+b),由於對稱性,乘f[n−i−m][j+b]即可
時間復雜度爲O((n−m)2)

代碼:

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#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
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using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
const int N = 1e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;

int n, m;
char s[N];
int f[2005][2005];

void add(int& x, int y) {
    if((x += y) >= MOD) x -= MOD;
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\in.txt", "r", stdin);
//  freopen("C:\\Users\\TaoSama\\Desktop\\out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

    while(scanf("%d%d%s", &n, &m, s + 1) == 3) {
        f[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n - m; ++i) {
            for(int j = 0; j <= i; ++j) {
                if(j - 1 >= 0) add(f[i][j], f[i - 1][j - 1]); //(
                if(j + 1 <= i) add(f[i][j], f[i - 1][j + 1]); //(
            }
        }

        int b = 0, minB = INF;
        for(int i = 1; i <= m; ++i) {
            if(s[i] == '(') ++b;
            else --b;
            minB = min(minB, b);
        }

        int ans = 0;
        for(int i = 0; i <= n - m; ++i)
            for(int j = 0; j <= i; ++j)
                if(j + minB >= 0 && j + b <= min(i + m, n - m - i))
                    add(ans, 1LL * f[i][j] * f[n - m - i][j + b] % MOD);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}