BZOJ 1096 [ZJOI2007]仓库建设

---

题目描述 传送门
L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

---

设d(i) 为搞定前i 个工厂，且第i 个工厂建了仓库（显然必须要），所需的最小费用

d(i)==min{ d(j)+∑k=j+1i(xi−xk)Pk | 0≤j<i }+cimin{ d(j)+xi∑k=j+1iPk−∑k=j+1ixkPk }+ci

如果预处理s(i)=∑ik=1Pk 和s2(i)=∑ik=1xkPk
那么

d(i)==min{ d(j)+xi(s(i)−s(j))−(s2(i)−s2(j)) }+cimin{ d(j)+xis(i)−xis(j)−s2(i)+s2(j) }+ci

此时时间复杂度是O(n2)
设

kix1jbiyj====xis(j)d(i)−xis(i)+s2(i)−cid(j)+s2(j)

直线式kix1j+bi=yj 可以用斜率优化了。
ki 和x1j 是单增，用单调队列维护下凸包。
时间复杂度降为O(n) 。
代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1000010;
long long s[maxn],x[maxn],s2[maxn],c[maxn],d[maxn],q[maxn];
double slope(int i,int j){
    return 1.0*((d[i]+s2[i]) -(d[j]+s2[j]) )/(s[i]-s[j]);
}
int main(){
    int n,b;
    cin>>n;
    s[0]=s2[0]=q[0]=d[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld%d%lld",&x[i],&b,&c[i]);
        s[i]=s[i-1]+b;
        s2[i]=s2[i-1]+x[i]*b;
    }
    int head=0,tail=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1])<x[i]) head++;
        d[i]=-(x[i]*s[q[head]]-(d[q[head]]+s2[q[head]]) -x[i]*s[i]+s2[i]-c[i]);
        while(head<tail&&slope(q[tail],q[tail-1])>=slope(q[tail],i)) tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    printf("%lld\n",d[n]);
    return 0;
}