首先，用通俗的語言說明兩個基本概念，非線性和各向異性
非線性，可以從線性說起，不嚴謹的說，如果兩個變量之間的關係是一次函數，那麼就說他們是線性關係，比如一維的一條直線：
y=kx+b，k和b都是實數，表示爲:
兩者關係不是線性的，那就是非線性的，典型的，多次函數，冪指數，邏輯函數等。
各向異性，先從各項同性說起。這個可以舉一個簡單的例子，二維高斯函數，只要該點離高斯中心點的距離相同，那麼得到的函數值就相同：
例如，上圖中顏色相同的等高線，不管該點處於哪個方向，只要離中心點的距離相同，那麼值就是相同的。這個簡單的例子可以幫助我們理解各項同性，那麼很自然的想到，如果將上述高斯函數做一點小變化，把x變爲x/2，那麼等高線就不再是圓了，各當方向不同的時候，儘管距離相同，那值也是不同的，因此是各向異性的。
這兩個概念有助於我們理解各向異性擴散的核心思想。
各向異性擴散濾波，是一種針對噪聲的保邊濾波器，保邊意思就是在磨平噪聲的同時，保留邊沿。因爲大多數的噪聲是孤立的點，就像是二維高斯函數的圖像一樣，是各向同性的，影響圖像質量。而有意義的目標邊沿，其邊沿點一般不是孤立的，表現爲線、拐角等，這些是有意義的信息，在濾波的過程中應該保留。那很自然的一種想法就是使用各向異性類型的濾波器。
拉普拉斯濾波器是提取圖像邊沿信息的有效工具之一，經過拉氏算子卷積後的特徵圖，體現了原圖像中的極值點信息，其實也是一種高頻信息，具體表現爲，如果這個像素是極大值，則特徵圖像素值爲負，如果是極小值點，特徵圖像素值爲正。僅有x和y方向的5像素拉氏濾波器模板表示爲：
使用迭代法，計算每一步濾掉的那一部分圖像：
那麼，等式右側就是圖像對x,y方向的二階偏導：
是離散二維圖像的二階偏導表達式，因此就能得到
，記做
在圖像中也就是迭代一次得到的圖像與迭代前圖像的差，它和原圖像是同型的。
這個標準的熱傳導方程是線性擴散方程，也就是說，這裏的D是與1同階的固定常數，簡單理解爲一個固定實數。
這個迭代過程和熱擴散過程就是等價的。此時，還不是各項異性，因爲對x和y的偏導部分系數都是一樣的，都是D，如果將D改寫爲一個關於位置(x,y)的對角陣，或者更一般的正定矩陣：
那麼擴散過程就變爲了：
注意這裏的D是作用在了u的梯度圖上後，再求散度的，證明它是和x,y相關的，同時，這裏引入了
，也就是二階偏導，就是對y求偏導後再對x求偏導。當a、b、c不完全相等時，該擴散就是各項異性的了，同時D是一階函數，這就是線性各項異性擴散。這個擴散的驅動力就是像素強度分佈的不均勻性
。
而通量公式：
只要保證D是正定的，那麼通量肯定是梯度衰減的：
因此，擴散過程會磨平大的梯度，尤其是各個方向的梯度值是一致的隨機噪聲引起的局部振盪。
而振盪的劇烈程度和擴散程度之間的關係可以由一個簡單的例子說明：
因爲D是正定的，
>0，那麼
>0，這說明線性空間的這個擴散算子L作用在這個單色振盪上，就相當於是乘了一個係數(這裏
和
可以看做是矩陣L的特徵值和特徵向量。因此僅僅是對
的縮放)，而縮放程度==O(k^2)，也就是與k平方線性相關的值，所以k越大，擴散的越厲害，是呈平方關係增長的。
非線性各項異性擴散，就是將線性的D變爲了非線性的P：
這個形如高斯函數的非線性擴散係數，是爲了在宏觀上保持圖像的邊。它可以平衡由梯度大小而導致的擴散不均勻，因爲如果是線性的，梯度大，那麼它對整個擴散的貢獻就會大，導致擴散速度加快，而梯度小，其作用就會微不足道。其實這是符合熱擴散原理的，但是爲了在宏觀上保持圖像的邊，需要將制衡不同梯度的貢獻率，因此這個自適應的函數達到的目的是，降低大梯度的貢獻率，保持小梯度的貢獻率。擴散方程就變爲了：
假設 
，
則有：
這裏將
，是契合了數字圖像求偏導的想法，求得的偏導不是該像素點的，而近似是
這個像素點的偏導，更像是拉格朗日中值定理描述的那樣，將像素間躍變認爲是線性的，因此這麼記會更確切。
這時做如下變換，將：
，對
取極限，便得到了非線性擴散方程：
這裏的變化可以通過下面的圖加以輔助理解：
那麼擴散後也即是濾波後的圖像可以表達爲：
這也是基於各項異性擴散的圖像融合方法裏所用到的理論基礎：
D.P. Bavirisetti, R. Dhuli, Fusion of infrared and visible sensor images based on anisotropic diffusion and karhunen-loeve transform, IEEE Sensors J. 16 (1) (2016) 203–209.