蓝桥杯 垒骰子 矩阵快速幂

赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在另一个上边，不能歪歪扭扭，要垒成方柱体。
经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘：有些数字的面贴着会互相排斥！
我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4，2 的对面是 5，3 的对面是 6。
假设有 m 组互斥现象，每组中的那两个数字的面紧贴在一起，骰子就不能稳定的垒起来。 
atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。
两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。
由于方案数可能过多，请输出模 10^9 + 7 的结果。

不要小看了 atm 的骰子数量哦～

「输入格式」
第一行两个整数 n m
n表示骰子数目
接下来 m 行，每行两个整数 a b ，表示 a 和 b 数字不能紧贴在一起。

「输出格式」
一行一个数，表示答案模 10^9 + 7 的结果。

「样例输入」
2 1
1 2

「样例输出」
544

「数据范围」
对于 30% 的数据：n <= 5
对于 60% 的数据：n <= 100
对于 100% 的数据：0 < n <= 10^9, m <= 36

方法1：矩阵快速幂

利用矩阵contro.v[i][j]记录骰子i面朝上与下一层骰子j面朝上的冲突关系，不冲突则记为1。pose.v[1][i]记录顶层骰子i面朝上的方案种数，初始化为第一个骰子的值都等于1，不考虑侧面情况。pose.v乘一次contro.v可得到下一个骰子i面朝上的情况，乘N-1次则为第N个骰子的各面朝上的情况。先利用矩阵快速幂算出contro.v的N-1次方，再乘pose.v。最后每个骰子可旋转四个方向，利用快速幂将结果乘4^n即可。复杂度在O(logn)级别。

#include<iostream>
#include<cstring> 
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MOD = 1e9 + 7;
int back[7] = { 0,4,5,6,1,2,3 };
int N, M;
 
 
struct matrix {
	ll v[7][7];
	matrix() {
		memset(v, 0, sizeof(matrix));
	}
};
 
matrix matrix_mul(matrix a, matrix b)
{
	matrix res;
	for (int i = 1; i < 7; i++)
	{
		for (int j = 1; j < 7; j++)
				for (int k = 1; k < 7; k++)
					res.v[i][j] = (res.v[i][j] + (a.v[i][k] * b.v[k][j])) % MOD;
	}
	return res;
}
matrix matrix_pow(matrix a, int k)//矩阵快速幂
{
	matrix res;
	for (int i = 1; i < 7; i++) res.v[i][i] = 1;
	while (k)
	{
		if (k & 1)
			res = matrix_mul(res, a);
		a = matrix_mul(a, a);
		k >>= 1;
	}
	return res;
}
ll pow1(ll x,ll n)
{
	ll res=1;
	while(n>0)
	{		
		if(n&1) res=(res*x)%MOD;
		x=x*x%MOD;//底数不断平方
		n>>=1;
	}
	return res;
 }
int main()
{
	matrix pose,contro;//contro[i][j]:i面朝上与下层骰子j面朝上是否冲突 
	cin >> N >> M;
	int x, y;
	
	for (int i = 1; i < 7; i++)
	{
		pose.v[1][i] = 1;
		for(int j=1;j<7;j++)
			contro.v[i][j]=1;	
	}
	while(M--)
	{
		scanf("%d%d", &x, &y);
		contro.v[back[x]][y] = contro.v[back[y]][x] = 0;//x对面朝上与下层y面朝上冲突 
	}
	pose =matrix_mul(pose, matrix_pow(contro, N - 1));
	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i < 7; i++)
		ans = (ans + pose.v[1][i]) % MOD;
	ans=(ans*pow1(4,N))%MOD;//N个骰子各旋转四个方向 
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

 

方法2：动态规划

利用数组contro[i][j]记录i面与j面冲突情况，数组dp[i][j]表示第i个骰子j面朝上的方案数，dp[i][j]=Σ(dp[i-1][k],1<=k<=6且back[j]与k不冲突)。不考虑侧面情况，初始状态dp[0][j]=1，最后结果乘4^n。采用滚动数组，不然内存超标。由于复杂度为O(36N），所以N>10^7时会超时。

 

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std; 
typedef long long ll;
const int MOD=1e9+7;
int contro[7][7],back[7]={0,4,5,6,1,2,3};
ll ans,dp[2][7];//第i个骰子j面朝上的方案数 

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	while(m--)
	{
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		contro[a][b]=contro[b][a]=1;
	} 
	int e=0;
	ll C=4;//计算4的N次幂 
	for(int i=1;i<7;i++)
		dp[e][i]=1;//第一个骰子i面朝上计1种，忽略侧面情况 	
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		e=1-e;
		C=(C*4)%MOD; 
		for(int j=1;j<=6;j++)
		{
			dp[e][j]=0;//注意置0 
			for(int k=1;k<=6;k++)
				if(!contro[back[j]][k])//j的对面与k不互斥 
					dp[e][j]+=dp[1-e][k];
			dp[e][j]%=MOD;
		}
	}
	for(int i=1;i<=6;i++)
		ans=(ans+dp[e][i])%MOD;
	ans=(ans*C)%MOD; //乘4^n 
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}