微積分與線性代數小結
1 微積分專題
案列:速度問題？
等價於求函數圖形下的面積------》如何求各種函數圖形下的面積？
dx: 先理解成有限小的微小值，然後再看成越來越小趨近零下的極限值。
df:就是在dx下的變化值；f(x)-f(x+dx);
df/dx: 即求dx趨近零下的極限值。只要有dx的地方在極限條件下忽略不計。
1.1 線性組合和複合函數的求導
加法和乘法求導法則：
複合函數鏈式法則：
1.2 基本函數
1.2 隱函數求導
隱函數求導是很奇怪，但一旦你把等式兩邊分別看做兩個二元函數f(x,y)，一切就都變得合理多了。
法一：直接按照方程兩邊各自求導；
法二：多雲函數求解
1.3 極限
由極限來定義的導數；----泰勒展開式；
極限：一個變量
極限求解的幾種類型：0/0型等。
導數和原函數
微積分定理：
1.4 高階多項式導數–泰勒定理
加速度例子來理解二階導數；
高階導數用來幫助我們得到函數的近似。
泰勒級數是極其強大的函數近似工具。是在某函數上某個點附近用多相似函數去近似其他函數。
級數：意思是無窮多個多項式，但是級數可以收斂，還有時發散的。
泰勒級數：利用函數某單個點的導數，來近似這個點附近函數的值。
2 線代
學習線代若是沒有幾何上的直觀理解作爲基礎，可能不知道解決什麼問題。
線代中計算和可視化上直觀理解有相當直接的聯繫。形成正確的幾何直觀理解。
2.1 線性代數最基礎的組成–向量
向量的三種不同視角：
物理：矢量，空間中的有向線段；決定向量是它的長度和它所指的方向。可以移動。
計算機專業：數組，有序的數字列表。
數學：向量加法和向量數乘， 內積。和點區分，向量豎着寫。
向量座標：基向量：i，j;
線性相關與線性無關基向量；
2.2 矩陣與線性變換
線性變換：運動的觀點；線性變換是操縱空間變換的方式；
線性變換是最基礎的空間變換：1. 經過變換之後還是直線 2. 原點位置不變。
矩陣時表達對 向量怎樣變換的 工具。 將舉證看做看見的變換。
2.2 矩陣乘法與線性複合
線性變換對空間的變換完全可由空間的基向量作用決定。因爲該空間任意向量都能表示爲基向量的線性組合。
線性變換空間後：網格線保持平行且等距分佈。----》
矩陣：將變換後的i基向量 和 j 基向量作爲一個矩陣的列。
矩陣向量乘積：將兩列分別於x和y相乘後相加的結果；
複合變換：連續兩次變換；
矩陣乘法：兩個線性變換相繼作用；不滿足交換律；
2.3 行列式
計算行列式：告訴的是一個變換對面積的縮放比列。
det(M1M2)=det(M1)det(M2)
通過線性變換來理解 逆矩陣、列空間、秩和零空間的概念。
讓計算機去做計算工作。
線性方程組：
恆等變換：A的逆；
如何矩陣的逆；
秩: 代表變換後空間的維數。 例如對於2X2的矩陣，它的秩最大爲2 ，且意味着仍是二維空間，矩陣的行列式不爲零。
滿秩變換VS非滿秩變換
非方陣的意義；
2.4 點積與對偶性、叉積
1投影的觀點==座標對應相乘
通過線性變換來理解。
維數相同的向量來做點積；
叉積：對應於向量組成的面積。
2.5 基變換的概念及其矩陣表示
不同基向量來表述的向量。即如何在不同座標系之間來進行轉化？–矩陣乘法
將矩陣看做空間的線性變換。
2.6 特徵向量和特徵值
矩陣變換在空間變換後，某方向上的向量仍然是這一個方向上的向量，只是伸縮而已。
該矩陣自己本身對應的向量稱爲:特徵向量，每個特徵向量都有一個自己的特徵值。來衡量矩陣變換
將矩陣的列看做變換後的基向量。
該矩陣對應的特徵向量和特徵值。
求出特徵值。將該值代入對角線矩陣當中，然後求解出在這個對角線變換的矩陣變換後成爲零的向量。
特徵基: 即對角矩陣中每一列都是特徵基向量，而對角元是所屬的特徵值。
如何計算矩陣的100次冪的矩陣乘法：找到能張成全空間的特徵向量，然後座標系之間的轉換。一定是一個對角矩陣。
2.7 抽象向量
函數看成向量；線性算子看成矩陣運算操作；
抽象性帶來的好處：能夠得到一般性的結論。分類會更具體，得到更多有用信息。
向量的形式可以有很多體現，抽象成向量空間來具有一般性，只是數學家的術語而提高權威性已；但是學習的時候，要具體化，要直觀形象化。要首先從一個具體形象地例子出發學習，當學到更多知識之後，再去概念一般化。—>>普適的代價是抽象–晦澀難懂。 只有具備了正確的直觀可視化理解，纔會在以後的學習中加高效。
2.8 計算法則背後的幾何原理
代數計算方法：高斯消元法
幾何克萊姆法則；
來源：
3blue1Brown: https://space.bilibili.com/88461692/channel/detail?cid=13407