通用算法 - [博弈論] - 雙人取數遊戲

1、問題描述

給定一個數組nums，a、b兩人輪流從數組的左端或右端取一個數作爲自己的得分，假設兩人足夠聰明，都採用最優的策略取數，且a先取，問a能能拿到的最大的分數是多少？
示例：

輸入：nums=[4,7,5,3]
輸出：10
解釋：a能拿到的最大分數爲7+3=10.

2、解題思路

分析：由題意，我們可以明確以下幾點：
(1) 當選手$a$、$b$在子數組$nums[i,...,j]$中取數時，無論怎麼取，$a$、$b$最終的得分之和總是一個固定值，這個固定值等於子數組的所有元素之和；
(2) 假設$dp[i][j]$表示$a$選手在子數組$nums[i,...,j]$取數時的最優解，由於$b$選手每次也是選擇最優的解，所以$dp[i-1][j]$或者$dp[i][j-1]$就代表了$b$選手在子數組$nums[i,...,j]$取數時的最優解(因爲$a$選手取了一個數後剩下的元素要麼是$nums[i+1,...,j]$要麼是$nums[i,...,j-1]$)。
(3) 考慮到$a$和$b$的得分之和固定，即$a$的得分加上$b$的得分等於固定值，若想讓$a$選手的得分最高，則等價於讓$b$的得分最低。

根據以上結論，我們採用動態規劃來解決該問題：
（1）定義狀態：

$dp[i][j]$：$a$選手在子數組$nums[i,...,j]$上取數時的最大得分；

（2）狀態轉移：
$a$選手在子數組$nums[i,...,j]$的得分等於子數組之和$sum(i,j)$減去$b$選手子數組$nums[i,...,j]$的得分，而$a$選手要想得分最高，等價於$b$選手的得分最低。

$dp[i][j] = sum(i,j) - min(dp[i+1][j],dp[i][j-1])$

（3）確定起始：
當只剩下一個數時，$a$取走它。
$dp[i][i]=nums[i]$。
（4）確定終止
$a$選手在整個數組取數時的最大得分。
$dp[0][length-1]$

注意，由於涉及到區間數組和的問題，因此可以採用前綴和來進行優化。

3、代碼實現

int maxScore(vector<int> nums){
	int len = nums.size();
	//求數組的前綴和數組
	vector<int> sums(len,0);
	for(int i = 0; i < len; i++){
		if(i > 0){
			sums[i] = sums[i-1] + nums[i]
		}
		else{
			sums[i] = nums[i];
		}
	}
	
	//動態規劃
	vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(len,0));
	for(int i = 0; i < len; i++){
		for(int j=i; j >=0; j--){
			if(j == i){
				dp[i][i] = nums[i];
			}
			else{
				int scoresum = j  > 0 ? sum[i] - sum[j-1] : sum[i];
				dp[j][i] = scoresum - min(dp[j+1][i],dp[j][i-1];
			}
		}
	}
	
	return dp[0][len -1];
			
}