leetcode - [動態規劃] -最大正方形（221）

1、問題描述

在一個由 0 和 1 組成的二維矩陣內，找到只包含 1 的最大正方形，並返回其面積。

示例:

輸入:
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
輸出: 4

2、 解題思路

思路1：暴力法。對於矩陣中的每個元素，求以其爲左上角頂點，可得到的最大正方形。
這種方法的時間複雜度爲$O(N^2M^2)$，遍歷每個元素需要$O(NM)$的時間複雜度，求以該元素爲左上角頂點的最大正方形需要$O(NM)$時間複雜度。
空間複雜度：$O(1)$。
思路2：動態規劃。
（1）定義狀態：
$dp[i][j]$：以$matrix[i][j]$（$matrix[i][j]==1$）爲右下角元素的最大正方形的邊長。
（2）狀態轉移：
以$matrix[i][j]$爲右下角頂點的最大正方形的邊長受限於，以該元素的上方元素$matrix[i-1][j]$爲右下角頂點的最大正方形的邊長，以該元素的左邊元素$matrix[i][j-1]$爲右下角頂點的最大正方形的邊長、以該元素的左上方元素$matrxi[i-1][j-1]$爲右下角頂點的最大正方形的邊長這三者中的最小值。
即:
$dp[i][j] = min\{dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1]\} + 1$
爲什麼，可以看下圖：
先簡述下常識：

• 形成正方形（非單 1），以當前爲右下角的視角看，則需要：當前格、上、左、左上都是 1
• 可以換個角度：當前格、上、左、左上都不能受 0 的限制，才能成爲正方形

上面詳解了 三者取最小 的含義：

• 圖1：受限於左上的0
• 圖2：受限於上邊的0
• 圖3：受限於左邊的0
• 數字表示：以此爲正方形右下角的最大邊長
• 黃色表示：格子 ? 作爲右下角的正方形區域

（3）確定初始：
第一行和第一列爲原值；
（4）確定終止：
$max(dp[i][j])* max(dp[i][j])$，即最大邊長的平方。
時間複雜度：$O(NM)$，
空間複雜度：$O(NM)$.

3、代碼實現

class Solution {
public:
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        int rows = matrix.size();
        int cols = rows > 0 ? matrix[0].size() : 0;
        vector<vector<int>>dp(rows+1, vector<int>(cols+1,0));
        int maxlen = 0;

        for(int i = 1; i <=rows; i++){
            for(int j = 1; j <=cols; j++){
                if(matrix[i - 1][j - 1] == '1'){
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])) + 1;
                    // cout<<"dp["<<i<<"]="<<"["<<j<<"]="<<dp[i][j]<<endl;
                    if(dp[i][j] > maxlen){
                        maxlen = dp[i][j];
                    }
                }
            }
        }
        return maxlen * maxlen;
        


    }
};