leetcode - [棧] -柱狀圖中的最大矩形（84）

1、問題描述

給定n個非負整數，用來表示柱狀圖中每個柱子的高度。每個柱子彼此相鄰，且寬度爲1.
求柱狀圖中能勾勒出的最大面積。

以上是柱狀圖的示例，其中每個柱子的寬度爲 1，給定的高度爲 [2,1,5,6,2,3]。

圖中陰影部分爲所能勾勒出的最大矩形面積，其面積爲 10 個單位。

2、解題思路

方法1：暴力法。在柱子$i$和柱子$j$構成的區間中，最大的矩形面積爲區間長度*區間內最矮柱子的高度，即$(j-i+1) \times min\{height\}$，因此我們可以枚舉所有的區間，然後找到每個區間的最小值，並計算該區間內最大矩形的面積。最後這些面積中選擇最大的那個。
這種方法的時間複雜度爲$O(n^3)$。枚舉所有的區間需要$O(n^2)$的時間複雜度，在區間中尋找最小值需要$O(n)$的時間複雜度。空間複雜度爲$O(1)$。

方法2：暴力法的優化。對於每個區間，上述暴力法都會掃描一遍以找到最小值，但其實這不是必須的，比如對於$[2,0,1]$和$[2,0,1,3]$這兩個區間，由於後一個區間包含前一個區間，故後一個區間的最小值很有可能和前一個區間相等，因此在求後一個區間的最小值時，只需將後一個區間拓展的元素和前一個區間的最小值比較，如果小於則更新該區間的最小值。
這種方法的時間複雜度爲$O(n^2)$，空間複雜度爲$O(1)$。

方法3：單調棧。我們可以換個角度來看這個問題。以$[1,2,4,5,3]$爲例：
對於高度爲4的柱子而言，如何計算以4爲高度的矩形的最大面積？
很顯然，我們需要找到柱子4的左、右邊界。然後計算它的高度與左右邊界形成的區間的乘積。
什麼是它的左右邊界? 左邊第一個高度小於它的柱子就是它的左邊界，右邊第一個高度大於它的柱子就是它的右邊界。
像這種涉及$nextgreater$、$nextsmaller$的問題，都可以使用單調棧來解決。維持一個單調遞增棧，對於棧頂元素$height[s(top)]$，次棧頂元素即爲它的左邊界（即左邊第一個小於它的元素），如果當前遍歷元素$height[current]$大於棧頂元素，那麼當前元素即爲它的左邊界，這時可以求得以棧頂元素作爲高的矩形最大面積爲：
$area = height[s(top) ] \times (current - s(top - 1) - 1)$
注意，當遍歷完最後一個元素時，
對於棧中剩下的每個元素，以其爲高構成的最大矩形面積爲：
$area = height[s(top)] \times(height.length - s(top-1)-1)$
對於該算法的動態演化過程，可參考：例子動態演示
這種方法的時間複雜度爲$O(n)$，空間複雜度爲$O(n)$.

3、代碼實現

class Solution {
public:
    int largestRectangleArea(vector<int>& heights) {
        int len = heights.size();
        int maxarea = 0;
        stack<int> s;
        s.push(-1);
        for(int i = 0; i < len; i++){
            while(s.top() != -1 && heights[i] < heights[s.top()]){
                int top = s.top();
                s.pop();
                maxarea = max(maxarea, heights[top] * (i - s.top() - 1));
            }
            s.push(i);
        }
        while(s.top() != -1){
            int top = s.top();
            s.pop();
            maxarea = max(maxarea, heights[top] * (len - s.top() - 1));
        }
        return maxarea;
        
    }
};