leetcode-[数组、双指针、二分搜索]-寻找重复数（287）

1、问题描述

给定一个包含n+1个整数的数组nums，其中，每个整数的取值范围为[1，n]，根据鸽巢原理可知，至少存在一个重复的整数。假设只有一个重复的数，找出这个数。

2、解题思路

• 边界条件与特殊情况：（1）nums中整数的个数小于2；
• 问题分析：以nums=[1，3，4，2，3]为例，索引index的范围是在[0，n]，元素值value的范围是[1，n]，想象一下，把数组看成一个链表，数组中每一个位置上的元素值作为下一个元素的索引，当有元素重复时，会得到下面这样的带有环的索引链表：
  

index	value
0	1
1	3
2	4
3	2
4	3

• 思路1：根据上面的分析，类比判断链表中是否存在环问题的解题思路，采用快慢指针来解决这个问题，整个思路分为两个步骤：
• （1）检测环。具体地，快、慢指针fast、slow都从0开始，进行如下循环：slow每次进行一跳，而fast进行两跳，比如，一开始slow=i、fast=i，下一步中，slow=nums[i]，而fast=nums[nums[i]]。当slow等于fast，循环停止，此时slow和fast都停在环上某个节点。
• （2）找到环的入口。具体地，finder指针从0开始，slow从上一步中slow和fast在环中的相遇的开始，进行如下循环：slow和finder指针每次都进行一跳。当finder等于fast时，循环停止，此时finder指向的为环的入口。
• 这里可能有点难理解的是：为什么finder和slow会在环的入口处相遇？我们可以证明一下：
• 假设起点到环的入口处长度为m，环的周长为c，在检测环的过程中，快慢指针在环中相遇，此时，fast走了2n步，slow走了n步，根据以上假设可得出以下结论：
• 由于两个指针在环中相遇，所以多走的n步一定是c的整数倍，即n%c=0；
• fast和slow相遇时，slow在环中行走的距离是n-m，此时，若finder从起点开始，slow从相遇点开始，两者同步前进，每次一步，当finder走了m步到达环的入口处时，slow走了n-m+m=n步，而n又是c的整数倍，故两者会在环的入口相遇。
• 先声明一下数据结构：
• slow慢指针、fast快指针，finder指针。
• 初始化，一开始slow和fast都为0，finder也为0
• 处理逻辑： 检测环和找到环的入口。
• 这个方法的时间复杂度为$O(n)$，空间复杂度为$O(1)$。
• 思路2：一说到查找，且时间复杂度小于$O(n^2)$，则可以尝试二分查找，二分查找的思路如下：
• 由于数组的元素的取值范围在[1，n]，所以需要查找的数的区间也left=1、right=n，取该区间的中位数mid，统计数组中小于等于mid的元素个数count，如果count<=mid，则说明重复的整数在[mid+1，right]区间，否则在[left，mid]之间，如果left <right，则继续在子区间查找。
• 由于进行了$logn$次查找，统计小于mid的元素个数count时间复杂度为$O(n)$，所以时间复杂度为$O(nlogn)$，空间复杂度为$O(1)$。

3、代码实现

快慢指针实现：

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
         if (nums.size() < 2){
            return 0;
        }
        
        int slow=0;
        int fast = 0;
        int finder = 0;
        while(true){
            slow = nums[slow];
            fast = nums[nums[fast]];
            if(slow == fast){
                break;
            }

        }

        while(true){
            slow = nums[slow];
            finder = nums[finder];
            if(slow == finder){
                break;
            }
        }
        return finder;
    }
};

二分搜索实现：

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
         if (nums.size() < 2){
            return 0;
        }
        int left = 1;
        int right = nums.size() - 1;
        while(left < right){
            int mid = (left + right) /2;
            int count = countNums(nums,mid);
            if(count <= mid){
                left = mid + 1;
            }
            else{
                right = mid;
            }

        }
        return left;
        
    }
    int countNums(vector<int>& nums,int e){
        int count = 0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            if(nums[i] <= e){
                count ++;
            }
        }
        return count;
    }
};