通透“包含”除法意義，構建“倍數”關係模型
——教學設計與課堂展示大賽網絡答辯擬設追問問題思考
江西景德鎮基地蔣銘國
準備了幾個月的新世紀小學數學第十五屆基地教學設計與課堂展示大賽即將拉開網絡答辯的序幕。爲了更好地完成答辯，我多次觀看對方辯友的課堂實錄，現就依據教研室單主任的指導以及自己的觀課，作如下思考。
對方辯友團隊是西安新知小學，執教教師是楊楠老師，課題是北師大版數學教材小學二年級上冊第七單元《分一分與除法》中的《快樂的動物》（倍的認識）。
《快樂的動物》一課重點是藉助除法的意義，尤其是包含除的“幾個幾”的理解，認識與理解倍的概念與意義。要實現這個重點，關鍵就是要把除法的意義理解到位，理解通透。除法的意義包含兩大類，一類是等分除，另一類是包含除。包含除的關鍵是理解“有幾個這樣的一份”。
本課“畫一畫、圈一圈、認一認”例中，鴨子有6只，猴子有3只，探求鴨子的只數是猴子的幾倍？在課堂中老師用方塊的個數來代替猴子和鴨子的只數，引導孩子理解如果把3只猴子看作一份，那6只鴨子看作幾份？怎麼分？進而理解猴子3個爲一份，鴨子也3個爲一份。6裏面有2個3，也就是6是3的2倍。
課堂中同學與老師的表述都是“6裏面有這樣的兩份”。個人認爲這種表述沒有突出“一份”的標準性與明確性。倍數關係是一種數量關係，對於低年級孩子可以突出可數性。把3只猴子看成一份，其實也就是把3只猴子看成一個整體，也就是一個單位，或者說是單位一。因此表述爲“6裏面有2個這樣的一份”更加精準。“這樣的一份”，指代明確，也適合操作。
這節課核心應該是藉助除法的意義來理解倍的概念。那這節課的關鍵是理解“較大的數是較小數的幾倍”。也就是除法裏面的包含除，即“有幾個幾”的理解。但老師在課堂中始終在這一方面沒有強調“有幾個這樣的一份”。只是說了，6裏面有2個3，6是3的2倍。這裏面老師關鍵抓什麼？個人認爲老師關鍵要抓的就是鴨子的只數裏面有“2個這樣的一份”。“2個這樣的一份”這句話是關鍵，是老師重點要強調的。但上課老師始終沒有強調這一點，只是說：“鴨子的只數有這樣的2份”，顯得不夠到位的。6只鴨子，3只一份，是2份，假設是2個一份的話，它就是3份。有幾個幾？幾個幾裏面關鍵強調什麼？顯然在這裏應該強調6裏面有“幾個這樣的一份”。6裏面有2個這樣的一份，這是核心部分。就這一點來說，對方辯友這節課是沒有講到位的。
於是在追問問題時，我認爲可以考慮追問以下兩個問題：本課本質核心是什麼？在課堂中是如何突破重點與難點的?
個人認爲本節課始終沒有抓住“2個這樣的一份”是一個不足。爲什麼這樣圈呢？因爲猴子3只爲一份，鴨子也3只爲一份。老師在操作教學過程中沒有重點突出把握“有幾個這樣的一份”。孩子沒有意識到鴨子的只數“有2個這樣的一份”，就沒有抓住本質。6÷3=2，是理解除法的意義的抽象模型。在我認爲除法的意義模型來得有些快。爲什麼是6÷3=2，而不是6÷2=3呢?爲什麼用6÷3=2這個抽象模型來表達是很難理解的。事實上，當我們把“3只”看作一份，一個整體的話，是可以利用度量的觀念來理解的。在這裏就是將“3只”作爲度量的標準去度量“6只”，孩子不難發現度量兩次即可。這樣一來“包含”除是可以數出來的。
至於第一個問題：本課本質核心是什麼？對方辯友在課堂設計上是有所突破的。但教學中正如上述，還沒有完全做到重點突出，準確把握。模型建構是我們數學課堂的重點。在這節課中是沒得到充分體現的。那麼在課堂上如何構建鴨子的只數是猴子只數的幾倍的“倍數關係”模型呢？顯然6÷3=2是倍數關係的模型的一種抽象與表達。當我們老師重點抓住“有2個這樣的一份”這一句話的時候，就可以重點突出“這樣的一份”的理解，“這樣的一份”是作爲“計份”單位存在的，也就是度量過程中的用來度量的單位與標準，這就是除法算式中的除數。
課堂中同學與老師的表述“有這樣的2份”，其中“這樣的”“這樣的2份”是有歧義的。從語義以及語境上來理解，“這樣的”其實是一個省略句，但是一旦省略之後，它就只具有指代的含義，描述性含義被大大削弱。而當我們描述爲“有2個這樣的一份”時，“這樣的一份”無論是指代還是描述，都是具體而準確的，更不存在歧義。
第二個問題：在課堂中是如何突破重點與難點的?我們知道本課是藉助除法的意義，體會數量之間的倍數關係。在這節課的前面有兩節關於除法算式認識的課，這是第三次出現除法算式的課，而倍的概念是建立在除法的意義基礎上的。在這節課上是如何藉助除法的意義來構建倍數關係的模型的？在教學中如何理解模型是6÷3=2，而不是6÷2=3。這是有一定難度的。
由物象圖到符號表示是一種抽象，由符號表示到算式是進一步抽象。畫一畫，圈一圈，體現的是解決問題的過程，除法算式體現的是解決問題的結果。如果只是這樣擺、畫、圈，解決問題的方法就顯得麻煩，如果數字大，根本無法操作。所以我們就要用符號來解決，就要利用算式來表達，於是算式模型的建構就顯得非常有必要。這個算式模型我們如何去建構，怎樣才能讓學生很好地去理解？本節課纔是除法算式的第三節課，所以6÷3=2的模型的意義，是本節課的難點，該如何突破呢？我們學習最終的目的就是建立除法模型。分一分、擺一擺是方法，但這些方法都只是直觀的。而這個模型抽象的最後結果就是我們要學習的抽象模型。
還有一個難點，是意義的理解，什麼是倍的意義？這個意義的理解就是通過擺一擺，深入感悟有怎樣的關係纔是兩倍。模型怎麼辦？除法的意義是根本。在前一節課《小熊開店》中。20元可以買幾輛車?不能用總價、單價和數量的概念。我們可以讓學生明白20元裏有4個5元，就可以買4輛車。所以倍數的意義在於“有幾個這樣的一份”就是幾倍。
綜上所述爲對方辯友擬設如下網絡答辯追問問題：
問題一：這節課核心應該是藉助除法的意義，尤其是包含除中“幾個幾”的思維模式來理解倍的概念、倍的意義。那麼在課堂上你是如何突破這一重點難點的？
問題二：倍數關係的抽象算術模型的建立是本節課的難點之一，在這節課中你是如何突破的？同時你又是如何在“鴨子與猴子”教學中防止學生出現6÷2=3以及在“鴨子與狐狸”教學中防止學生出現6÷3=2的呢？