定義
摘自《離散數學及其應用》9.2.1 定義1：
設A1、A2，……，An是集合。定義在這些集合上的n元關係是A1×A2×……×An的子集。這些集合A1、A2，……，An稱爲關係的域，n稱爲關係的階。
我的理解
關係肯定說的是兩個或兩個以上對象之間的聯繫，所以至少得兩個對象，一個對象是不能產生聯繫的。兩個對象之間產生的聯繫就是 有序二元組，即有序對，也就是兩個人之間那點事。如果是三個對象有聯繫，就是 有序三元組。如果是n個對象有聯繫，就是 有序n元組。爲什麼是必須是有序的呢？這是因爲這n個對象必須滿足某個謂詞邏輯，才能滿足指定關係。而謂詞邏輯中個體不一定能交換位置，例如 a比b大3。如果滿足此謂詞邏輯，那麼a所代表的對象就肯定比b所代表的對象大，反過來，b所代表的對象就一定比a所代表的對象小，所以b比a大3就不成立，也就不存在此關係。這些 n元組 組成的集合，就是關係R的元素，即所有滿足這個謂詞邏輯的n元組 組成的集合。
函數是一種描述兩個對象之間聯繫的一種表示，所以函數也屬於關係。
性質
自反
摘自《離散數學及其應用》9.1.4 定義3：
若對兩個元素a∈A有(a,a)∈R，則R是定義在集合A上的自反關係。
我的理解
關係 a|a，可以想象集合A中的元素在照鏡子，這樣現實中的a與鏡子中的a都具有同樣的屬性，所以如果現實中a今年3歲，則鏡子中的a也是3歲。如果某個關係R描述的是年齡這個屬性，例如 x今年y歲，那麼現實中的a與鏡子中的a就滿足這個關係。也就是說自己和自己能滿足這個謂詞邏輯，就是自反關係。
對稱
摘自《離散數學及其應用》9.1.4 定義4：
對於任意a，b∈A，若只要(a,b)∈R就有(b,a)∈R，則稱定義在集合A上的關係R爲對稱。
我的理解
用量詞進行定義，可得∀a∀b((a,b)∈R→(b,a)∈R)。 這句話的這樣理解：“你對我好，我一定對你好。”這句話的關注的重點是“你對我好”，如果你對我不好，我對你好不好就要看我心情了。所以，一切看你的表現了。
通過圖表現對稱關係就是：兩個點之間有兩條方向相反的有向邊。
反對稱
對於任意a，b∈A，若(a,b)∈R且(b,a)∈R，一定有a=b，則稱定義在集合A上的關係R爲反對稱。
我的理解
用量詞進行定義，可得∀a∀b(((a,b)∈R∧(b,a)∈R)→a=b)。這個性質不好理解，特別是這個“反”字。我們知道“對稱”的意思“你對我好，我對你好”，將這句話中的“我”改成“他”，變爲“你對他好，他對你好”。把“反”理解爲“反對”的意思，也就是“反對 你對他好，他對你好”，除非“你”和“他”指代的是同一個人，即只能自己對自己好。因爲我吃醋，所以我反對你和他相愛。進一步，如果∀a∀b(((a,b)∈R∧(b,a)∈R)→a=b)成立，即a=b，有(a,a)∈R，(b,b)∈R，這又是自反關係。
通過圖表現反對稱關係就是：兩個點之間不能有兩條方向相反的有向邊。
傳遞
摘自《離散數學及其應用》9.1.4 定義5：
若對於任意a，b，c∈A，(a,b)∈R並且(b,c)∈R則(a,c)∈R，那麼定義在集合A上的關係R稱爲傳遞的。
我的理解
用量詞進行定義，可得∀a∀b((a,b)∈R∧(b,c)∈R)→(a,c)∈R)。這個很好理解“他是你兄弟，你是我兄弟，我也把他當兄弟”。