MPC中常用到的非線性模型

考慮到理論模型太複雜或難以獲得解析表達式，一些非理論模型可以高精度逼近真實系統，已經應用於非線性系統的MPC，如Volterra，NARMAX模型，維納模型，Hammerstein模型等。本文選取幾種做簡單介紹：

1. Volterra模型
   Volterra模型屬於非理論性模型的一種，可以較爲精確的描述非線性系統的動態特性。對於單數入單輸出的離散非線性系統，二階Volterra模型的一般形式可表述如下：
   
   y(k)=∑i=1Mh1(i)u(k−i)+∑i=1M∑j=1Mh2(i,j)u(k−i)u(k−j)$$y(k)=\sum _{i=1}^M{h}_1(i)u(k-i)+\sum _{i=1}^M\sum _{j=1}^M{h}_2(i,j)u(k-i)u(k-j)$$
   
   其中 yk$y_k$ 和 uk$u_k$ 分別是模型的輸出和輸入，h1(i)$h_1(i)$ 和 h2(i,j)$h_2(i,j)$ 分別是系統的一階、二階Volterra時域核。
2. Wiener模型
   Wiener模型描述了這樣一類非線性系統：在不同工作點上，系統的靜態非線性增益相差很大，而系統的動態特性很接近。它由動態線性部分和靜態非線性部分組成.
   線性部分：
   
   A(q−1)x(t)=B(q−1)u(t)$$A(q^{-1})x(t)=B(q^{-1})u(t)$$
   
   非線性部分：
   
   y(t)=f(x(t))$$y(t)=f(x(t))$$
   
   式中：A(q−1)=1+a1q−1+a2q−2+...+anaq−na$A(q^{-1})=1+a_1{q}^{-1}+a_2{q}^{-2}+...+a_{n_a}{q}^{-n_a}$ ；B(q−1)=1+b1q−1+b2q−2+...+bnbq−nb$B(q^{-1})=1+b_1{q}^{-1}+b_2{q}^{-2}+...+b_{n_b}{q}^{-n_b}$ ;u(t)$u(t)$ 爲模型輸入；x(t)$x(t)$ 爲中間變量；y(t)$y(t)$ 爲模型輸出；f(⋅)$f(·)$ 爲非線性增益。
   wiener模型的結構如下：
   —u—> | Linear Model | —x—> | Nonlinear Model | —y—>
   置換一下非線性模型和線性模型的位置，及爲Hammerstein模型的結構。
3. 非線性自迴歸滑動平均(NARMAX)模型
   NARMAX模型表示輸入輸出之間的非線性函數關係，該函數是一個非線性差分方程，如下式所示：
   
   y(k)=FNt(y(k−1),...,y(k−ny),u(k−1),...,u(k−nu),e(k−1),...,e(k−ne))+e(k)$$y(k)=F^{N_t}(y(k-1),...,y(k-n_y),u(k-1),...,u(k-n_u),e(k-1),...,e(k-n_e))+e(k)$$
   
   其中，ny$n_y$ ,nu$n_u$ ,ne$n_e$ 分別是時刻k$k$ 時，系統輸出、輸入與噪聲想的最大延遲數，u(k)$u(k)$ ,y(k)$y(k)$ 分別是系統的輸入與輸出，FNt[⋅]$F^{N_t}[·]$ 是一個非線性函數。

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