《預測控制》學習記錄二-DMC的內模控制結構（IMC）分析

書中是講完DMC接着講的GPC，不過我想接着寫DMC，將DMC的有關內容寫完。
預測控制的部分先不寫了,先去學點數學知識
　　上一篇文章寫了在無約束單輸入單輸出情況下的DMC的原理，及其仿真。我在仿真時取N=P=M=20，所以至少有40個參數可以調節，那麼如何去選擇這些參數？有沒有一些結論去供我們參考呢？這就涉及到我接下來要寫的這部分內容DMC的內模控制結構，內模控制結構即IMC（internal model control,我猜的哈，沒查過），可以用來有效的分析預測控制系統。那麼它究竟是以一種什麼樣的原理去分析預測控制系統的呢？籠統地可以表達成針對ＩＭＣ具有一些定理和結論，我們將ＤＭＣ變換爲ＩＭＣ的結構，將ＩＭＣ的定理和結論套用在上面，來達到分析ＤＭＣ的目的。所以爲了達成這個目的我們需要做的工作：１.瞭解ＩＭＣ的結構，及其相關定理。２．將ＤＭＣ變換爲ＩＭＣ。３．分析變換爲ＩＭＣ結構的ＤＭＣ，有點像大象關冰箱裏分幾步哈。

首先是第一個工作，ＩＭＣ的結構和定理。

　　ＩＭＣ的基本的結構就如上圖所示，其中$w(z)$爲參考輸入，$u(z)$爲控制量，$v(z)$爲擾動量，$y(z)$爲輸出量。從上面這個結構很容易得出傳遞函數：$y(z)=G_w(z)\frac {G_c(z)G_p(z)}{1+G_c(z)G_F(z)[G_p(z)-G_M(z)]}w(z)+\frac {1-G_c(z)G_F(z)G_M(z)}{1+G_c(z)G_F(z)[G_p(z)-G_M(z)]}v(z)--------（1）$
　　其中的$G_w(z)$稱爲參考模型，根據控制方式的不同，有所不同。未分析方便將$G_w(z)$設爲1。在之後的分析中還會涉及到。
　　$G_c(z)$爲控制器，$G_p(z)$爲對象，$G_M(z)$爲針對對象建立的模型，$G_F(z)$爲濾波器。
　　這個就是IMC的結構，還是挺簡單的，接下來介紹IMC的幾個性質或者說結論：
　　1.對偶穩定準則
　　在模型精確時，即模型$G_M(z)$等於對象$G_p(z)$時，我們將$G_M(z)=G_p(z)$代入(1)式中，可以得到$y(z)=G_c(z)G_p(z)w(z)$可以得到系統此時的傳遞函數：$F_0(z)=G_c(z)G_p(z)$，系統在對象$G_p(z)$和控制器$G_c(z)$穩定時穩定。
　　2.完全控制器
　　在對像穩定且模型準確的前提下，若取控制器爲$G_c(z)=\frac {1}{G_-(z)}--（2）$則控制系統對鎮定或跟蹤控制都具有最小輸出方差。式中的$G_-(z)$來自於模型下述分解$G_M(z)=G_+(z)G_-(z)$其中$G_+(z)=z^{-(l+1)}\prod_{i=1}^p(\frac{z-z_i}{z-\hat{z}_i})(\frac{1-\hat{z}_i}{1-z_i})$，式中$l$是對象的純滯後數，再+1是爲了計入採樣保持所附加的一拍滯後；p爲對象在單位圓外的零點數；$z_i$爲單位圓外的零點，$\hat{z}_i=1/z_i$爲器在單位圓內的映射。控制器（2）稱爲完全控制器，我不理解書上爲什麼要將$G_+(z)$寫成這種形式，按《計算機控制》的最小拍來說的話，也不是這種形式，或許還和最小方差控制相關？有懂的同學方便的話告訴我一下。雖然和計算機控制上的形式不太一樣，但目的卻是一樣的，都是爲了對消被控對象中的可控部分，而滯後和不穩定部分保留，但如果被控對象中含有不穩定部分，也就不符合預測控制的要求了，不符合性質1，所以在接下來的討論中被控對象可以認爲都是穩定的。
　　3.零靜差
　　不論模型與對象是否失配，就是不論模型$G_M(z)$等不等於對象$G_p(z)$，只要閉環系統是穩定的，且控制器$G_c(1)=1/G_M(1)$,濾波器滿足$G_F(1)=1$.則系統對於階躍輸$w$和常值擾動$v$均不存在輸出靜差。這個推導的話，大家對式（1）運用終值定理就可以推出來。

第二個工作，將DMC變換爲IMC

在變換之前我們先把上一節得到的DMC的結構再列一下，
　　
　　其中$a= 　　[0.0867,0.2917,0.5413,0.7851,0.9818,1.1166,1.1882,1.2059,1.1846,1.1407,1.0886,1.0394,1.001,0.9738,0.9603,0.9577,0.9627,0.9721,0.9829,0.9929;$
　　$d^T=[0.00741,0.0192, 0.0254, 0.0348, 0.0135, 0.0141, 0.0109, 0.0073, 0.0042 0.0017 0.00067 ,0.000427 ,0.000256, 0.000142, 0,0,0,0,0,0]$
　　$h=[1,1 ,1, 1, 1, 1, 1, 1 ,1 ,1 ,1 ,1, 1 ,1 ,1, 1, 1, 1, 1, 1]^T$
　還需要上一篇的幾個公式：
　 　　　　　　
　　　　　 　　　
　　接下來開始變換，首先需要將DMC變換成如下的形式：
　　
由（1）（2）式




接下來再變換成




(沒網費了。。下次再寫)，