質點振動學-學習記錄1

1.質點振動系統的概念

質點振動系統,就是假設構成振動系統的物體如質量塊,彈簧等,不論其幾何大小如何,都可以看成是一個物理性質集中的系統,對於這種系統,質量塊的質量認爲是集中在一點的,這就是說,構成整個振動系統的質量塊與彈簧,他們的運動狀態都是均勻的,這種振動系統也稱之爲集中參數系統.

2.質點的自由振動

設有一可作爲質點,其質量爲$M_m$的堅硬物體系於彈性係數或勁度係數爲$K_m$的彈簧上,構成一簡單的振動系統,簡稱單振子.系統初始時處於靜止狀態,假定突然有一外力作用在物體上,並且僅在初始時刻起作用,這種情況下質點所做的振動稱爲自由振動.

2.1自由振動方程

設物體被拉離平衡位置的位移爲$\xi$,則根據虎克定律彈簧的彈力$F_k=-K_m\xi$,$K_m$即上述的彈性係數,有時用其倒數$C_m$表示,$C_m=\frac{1}{K_m}$稱爲順性係數,或稱力順.設位移$\xi$的正方向向上,則根據牛頓第二定律有$M_m\frac{d^2\xi}{dt^2}=-K_m\xi\tag{1}$或寫成$M_m\frac{d^2\xi}{dt^2}+K_m\xi=0\tag{2}$或寫成$\frac{d^2\xi}{dt^2}+w_0^2\xi=0\tag{3}$其中$w_0^2=\frac{K_m}{M_m}$,$w_0$稱爲振動圓頻率,也稱角頻率,式(3)就是質點的自由振動方程.

2.2自由振動的一般規律

式(3)的解$\xi=Acosw_0t+Bsinw_0t\tag{4}$其中A,B是由運動的初始條件確定的常數.
也可以化成$\xi=\xi_acos(w_0t-\varphi_0)\tag{5}$位移對時間t求導得速度$v=\frac{d\xi}{dt}=v_asin(w_0t-\varphi_0+\pi)\tag6$(5)(6)兩式中$v_a=w_0\xi_a$,$\xi_a=\sqrt{A^2+B^2},\varphi_0=arctan\frac{B}{A}$
從(5)式看出位移$\xi$隨時間$t$的變化規律呈餘弦形式.
隨t作正弦或餘弦規律的運動,一般稱爲簡諧運動,$\xi_a$爲位移的最大值,稱爲位移振幅.$\varphi_0$爲振動的初相位.T爲運動的週期,$T=\frac{2\pi}{w_0}$振動頻率$f=\frac{1}{T}$.
由$w_0^2=\frac{K_m}{M_m}$,所以自由振動的頻率公式爲$f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K_m}{M_m}}\tag7$或用力順表示$f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{M_mC_m}}\tag8$式(8)說明只要系統的固有質量$M_m$和彈性係數$K_m$一定,其振動的頻率也就決定了,而同系統是以多大的初始位移或者多大的初始速度開始運動沒有關係,因而這一振動頻率稱爲系統的固有頻率.
質量$M_m$越大或者彈性係數$K_m$越小,固有頻率越低,反之越高.

2.3自由振動的能量

質點在振動時任一時刻系統的總振動能等於勢能和動能的和.
貯存在彈簧中的勢能等於$E_p=\int_0^tK_m\xi d\xi=0.5K_m\xi^2\tag{9}$系統具有的動能可表示爲$E_k=\frac{1}{2}M_mv^2\tag{10}$
系統的總振動能爲$E=E_p+E_k=\frac{1}{2}K_m\xi^2+\frac{1}{2}M_mv^2\tag{11}$
將(5)和(6)代入得$E=\frac{1}{2} K_m\xi_a^2cos(w_0t-\varphi_0)+\frac{1}{2} M_mw_0^2\xi_a^2sin^2(w_0t-\varphi_0)=\frac{1}{2}K_m\xi_a^2=\frac{1}{2}M_mv_a^2\tag{12}$

2.4雙彈簧串接和並接系統的振動

1.雙彈簧串接

設兩根彈簧的彈性係數$K_{1m}$與$K_{2m}$,在質量$M_m$的重力作用下,產生的靜位移分別爲$\xi_{1st}$和$\xi_{2st}$,於是 每一彈簧的所產生的彈力分別爲$-K_{1m}\xi_{1st}$與$-K_{2m}\xi_{2st}$,因爲兩根彈簧是串聯的,每一根彈簧都受到質量$M_m$的拉力都相同,等於$M_mg$,因此根據靜力學平衡條件$M_mg=K_{1m}\xi_{1st}=K_{2m}\xi_{2st}\tag{13}$
而兩根彈簧的總靜位移等於各個彈簧靜位移的總和,即$\xi_{st}= \xi_{1st}+\xi_{2st}\tag{14}$(13)代入(14)得$\xi_{st}=M_mg\frac{K_{1m}+K_{2m}}{K_{1m}K_{2m}}\tag{15}$系統的固有頻率等於$f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{\xi{st}}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K'_m}{M_m}}\tag{16}$其中$K'_m=\frac{K_{1m}+K_{2m}}{K_{1m}K_{2m}}$爲彈簧串接時的等效彈性係數.
兩個彈簧串接使系統的彈性減小,固有頻率降低.

2.雙彈簧並接

設兩根彈簧的彈性係數$K_{1m}$與$K_{2m}$,因爲並聯相接,在質量$M_m$的重力作用下,兩個彈簧的靜位移相同,都爲$\xi_{st}$,所以他們產生的彈力分別爲$-K_{1m}\xi_{st}$與$-K_{2m}\xi_{st}$,根據靜力學平衡條件:$M_mg=K_{1m}\xi_{st}+K_{2m}\xi_{st}\tag{17}$於是系統的固有頻率爲$f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K''_m}{M_m}}\tag{16}$其中$K''=K_{1m}+K_{2m}$爲彈簧並接時的等效彈性係數.兩個彈簧的並接時系統的彈性增大,固有頻率提高.