衝激函數和傅里葉變換

衝激函數具有很好的取樣特性，使得其在信號處理、圖像處理等方面有着廣泛的應用. 在這邊文章中，我們介紹衝激函數和它的傅里葉變換. 文章的內容主要參考Rafael C. Gonzalez和Richard E. Woods所著的《數字圖像處理》.

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1. 衝激函數定義

定義1 連續變量t 在t=0 點處的衝激函數δ(t) 定義爲

δ(t)={∞,0,t=0t≠0

其滿足等式

∫∞−∞δ(t)dt=1.

假設f(t) 在t=0 處是連續的，則衝激具有如下的取樣特性

∫∞−∞f(t)δ(t)dt=f(0).

更一般地，位於任意點t=t0 的衝激表示爲δ(t−t0) . 在這種情況下，取樣特性爲

∫∞−∞f(t)δ(t−t0)dt=f(t0).

定義2 對於離散變量x ，單位離散衝激函數δ(x) 定義爲

δ(x)={1,0,x=1x≠0

其滿足等式

∑x=−∞∞δ(x)=1.

離散衝激具有取樣特性

∑x=−∞∞f(x)δ(x)=f(0).

更一般地，在x=x0 處的取樣特性爲

∑−∞∞f(x)δ(x−x0)=f(x0).

定義3 衝激串SΔT(t) 是無限多個分離的週期爲ΔT 的衝激之和，即

SΔT(t)=∑n=−∞∞δ(t−nΔT)

其中，衝激δ(t) 可以是連續的或離散的.

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2. 傅里葉級數和傅里葉變換

2.1 傅里葉級數

令i2=−1 . 函數族{ei2πkt/T}∞k=0 在區間[−T2,T2] 上具有如下正交性

∫T2−T2ei2πnt/T⋅e−i2πmt/Tdt={T,0,n=mn≠m

據此，我們可以將週期爲T 的函數f(t) 表示爲傅里葉級數的形式.

定義4 假定函數f(t) 爲週期爲T的連續函數，則f(t) 可以表示爲如下傅里葉級數形式

f(t)=∑n=−∞∞cnei2πnt/T

其中

cn=1T∫T2−T2f(t)e−i2πnt/Tdt,n=0,±1,±2,…

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2.2 傅里葉變換

定義5 連續函數f(t) 的傅裏變換爲

f(t)−→FF(μ)=∫∞−∞f(t)e−i2πμtdt

相反地，給定F(μ) ，我們可以通過傅裏逆變換得到f(t)

F(μ)−→−−F−1f(t)=∫∞−∞F(μ)ei2πμtdμ

由傅里葉變換和傅里葉逆變換的對稱性，我們得到如下性質

性質1 >

f(t)−→FF(μ)−→Ff(−t)

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3. 衝激和衝激串的傅里葉變換

3.1 衝激的傅里葉變換

位於原點的衝激函數δ(t) （見定義1）的傅里葉變換爲

F(μ)=∫∞−∞δ(t)e−i2πμtdt=∫∞−∞e−i2πμtδ(t)dt=e−i2πμ0=e0=1

類似地，位於t=t0 處的衝激δ(t−t0) 的傅里葉變換爲

F(μ)=∫∞−∞δ(t−t0)e−i2πμtdt=∫∞−∞e−i2πμtδ(t−t0)dt=e−i2πμt0

由前面的性質1 和衝激的性質，我們可以得到如下性質

性質2

F(ei2πμt0)=δ(−t+t0)=δ(t−t0)

3.2 衝激串的傅里葉變換

衝激串SΔT(t) （見定義3）是週期爲ΔT 的函數，可以表示爲如下傅里葉級數（見定義4）

SΔT(t)=∑n=−∞∞cnei2πnt/ΔT

其中

cn=1ΔT∫ΔT2−ΔT2SΔT(t)e−i2πnt/ΔTdt

由於在區間[−ΔT2,ΔT2] 的積分僅包含位於原點的衝激δ(t) ，因此

cn=1ΔT∫ΔT2−ΔT2SΔT(t)e−i2πnt/ΔTdt=1ΔTe0=1ΔT

從而得到衝激串的傅里葉級數

SΔT(t)=1ΔT∑n=−∞∞ei2πnt/ΔT

進一步地，由性質2可知

F(ei2πnt/ΔT)=δ(μ−nΔT)

因此，衝激串SΔT(t) 的傅里葉變換S(μ) 爲

S(μ)=F(SΔT(t))=1ΔT∑n=−∞∞F(ei2πnt/ΔT)=1ΔT∑n=−∞∞δ(μ−nΔT)

這個結果說明，週期爲ΔT 的衝激串的傅里葉變換仍爲衝激串，其週期爲1ΔT.