冲激函数具有很好的取样特性,使得其在信号处理、图像处理等方面有着广泛的应用. 在这边文章中,我们介绍冲激函数和它的傅里叶变换. 文章的内容主要参考Rafael C. Gonzalez和Richard E. Woods所著的《数字图像处理》.
1. 冲激函数定义
定义1 连续变量
t 在t=0 点处的冲激函数δ(t) 定义为
δ(t)={∞,0,t=0t≠0
其满足等式
∫∞−∞δ(t)dt=1.
假设
更一般地,位于任意点
定义2 对于离散变量
x ,单位离散冲激函数δ(x) 定义为
δ(x)={1,0,x=1x≠0
其满足等式
∑x=−∞∞δ(x)=1.
离散冲激具有取样特性
更一般地,在
定义3 冲激串
SΔT(t) 是无限多个分离的周期为ΔT 的冲激之和,即
SΔT(t)=∑n=−∞∞δ(t−nΔT)
其中,冲激δ(t) 可以是连续的或离散的.
2. 傅里叶级数和傅里叶变换
2.1 傅里叶级数
令
据此,我们可以将周期为
定义4 假定函数
f(t) 为周期为T 的连续函数,则f(t) 可以表示为如下傅里叶级数形式
f(t)=∑n=−∞∞cnei2πnt/T
其中
.cn=1T∫T2−T2f(t)e−i2πnt/Tdt,n=0,±1,±2,…
2.2 傅里叶变换
定义5 连续函数
f(t) 的傅里变换为
f(t)−→FF(μ)=∫∞−∞f(t)e−i2πμtdt
相反地,给定F(μ) ,我们可以通过傅里逆变换得到f(t)
F(μ)−→−−F−1f(t)=∫∞−∞F(μ)ei2πμtdμ
由傅里叶变换和傅里叶逆变换的对称性,我们得到如下性质
性质1 >
f(t)−→FF(μ)−→Ff(−t)
3. 冲激和冲激串的傅里叶变换
3.1 冲激的傅里叶变换
位于原点的冲激函数
类似地,位于
由前面的性质1 和冲激的性质,我们可以得到如下性质
性质2
F(ei2πμt0)=δ(−t+t0)=δ(t−t0)
3.2 冲激串的傅里叶变换
冲激串
其中
由于在区间
从而得到冲激串的傅里叶级数
进一步地,由性质2可知
因此,冲激串
这个结果说明,周期为