向量和向量空間

向量和向量空間

數域F中的n個數x1,⋯,xn 組成的有序數組[x1,⋯,xn] ，在數學上稱爲數域F上的n維（行）向量。

向量的運算

設α=[a1,⋯,an]T ，β=[b1,⋯,bn]T 都是n維列向量。

1. 加法  α+β=[a1+b1,⋯,an+bn]T.
2. 數乘  設k爲一數，則kα=[ka1,⋯,kan]T.
3. 內積  也稱爲點乘，若α,β 都是實向量則⟨α,β⟩=α⋅β=∑ni=1aibi
4. 外積  也稱爲叉乘和向量積，兩個向量的外積依然是向量，方向與兩個向量組成的平面垂直遵守右手定則。大小 |α×β|=|α|⋅|β|⋅sinθ

Cauchy-Schwarz不等式：

|⟨α,β⟩|≤|α|⋅|β|.

即兩個向量內積的絕對值小於等於兩個向量的模相乘。等號在兩個向量方向相同或相反時成立。

向量組的線性相關性和向量組的秩

給定向量組α1,α2,⋯,αs ，如果存在不全爲零的數k1,⋯,ks 使得

k1α1+⋯+ksαs=0,

則稱向量組線性相關。否則，稱這個向量組線性無關。

對向量α 和向量組α1,α2,⋯,αs ，如果有一組數k1,k2,⋯,ks ，使：

α=k1α1+⋯+ksαs

則稱α 可用α1,α2,⋯,αs線性表出。

定理（線性相關和線性表出的關係）：向量組α1,α2,⋯,αs(s≥2) 線性相關的充要條件是其中至少有一個向量能用其餘向量線性表出。

下面討論向量組的關係；
設有兩個組：
(a)α1,⋯,αr;
(b)β1,⋯,βr.
如果向量組a與向量組b能相互線性表出，則稱這兩個向量組等價，記作a≅b 。

定理：如果兩個線性無關向量組α1,⋯,αr 和β1,⋯,βr 等價，則r=s 。

設S是一個向量組，α1,α2,⋯,αr 是它的一個子組，如果α1,α2,⋯,αr 線性無關，且S中任一向量都可用這個子組線性表出，則稱α1,α2,⋯,αr 是向量組S的一個極大線性無關組。一般來說向量組的極大線性無關組不是唯一的，但它們之間必定是等價的，極大線性無關組所含向量的個數r是由原向量組唯一確定的，我們稱這個數爲該向量組的秩。

向量空間

向量空間定義：設V是數域F上的n 維向量組成的非空集合，如果集合V對於加法及數乘兩種運算封閉，則稱V爲F上的向量空間。

子空間定義：設V1 和V2 都是同一數域F上的向量空間，若V1⊆V2 ，則稱V1 是V2 的子空間。

基和維數定義：設V是向量空間，如果α1,α2,⋯,αr 是V中給定順序的一個極大線性無關組，則稱它是V的一個基，即爲B={α1,α2,⋯,αr} ，其向量個數r稱爲V的維數。記作dimV=r

正交基和標準正交基的定義：設{α1,α2,⋯,αr} 是n維向量空間V的一個基，若它們兩兩正交，則稱該基爲V的一個正交基。若每個向量αi 還都是單位向量，則稱它爲V的一個標準正交基。

Schmidt正交化方法：
設{α1,α2,⋯,αr} 是向量空間V的一個基，用如下做法得出一個標準正交基：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪β1=α1,ϵ1=β1|β1|,β2=α2−⟨α2,ϵ1⟩ϵ1,ϵ2=β2|β2|,⋮βn=αn−⟨αn,ϵ1⟩ϵ1−⋯−⟨αn,ϵn−1⟩ϵn−1,ϵn=βn|βn|,

例題 已知{α1=[1,1,0]T,α2=[2,0,1]T,α3=[2,2,1]T} 是三維歐氏空間R3 的一個基，用這個基求R3 得一個標準正交基。
解  取β1=α1=[1,1,0]T ，單位化後得

ϵ1=β1|β1|=12√[1,1,0]T

由於⟨α2,ϵ1⟩=2√ ，所以

β2=α2−⟨α2,ϵ1⟩ϵ1=[2,0,1]T−[1,1,0]T=[1,−1,1]T

單位化得   ϵ2=β2|β2|=13√[1,−1,1]T.

β3=α3−⟨α3,ϵ1⟩ϵ1−⟨α3,ϵ2⟩ϵ2=[2,2,1]T−[2,2,0]T−13[1,−1,1]T=13[−1,1,2]

單位化後得：ϵ3=16√[−1,1,2]T

關於Schmidt正交化方法的python實現代碼：

import numpy as np


def schmidt_norm_orth(array):
    col = array.shape[0]
    for i in range(col):
        j = i
        col_now = array[i]
        beta_now = col_now
        while j > 0:
            j -= 1
            beta_now -= np.dot(col_now, array[j]) * array[j]
        epsilon_now = beta_now / np.linalg.norm(beta_now)
        array[i] = epsilon_now
    return array