線性代數同濟第六版筆記：1-行列式

原創

2018-09-03 02:53

2 全排列和對換

性質1：行列式與它的轉置行列式相等.
性質2：對換行列式的兩行（列），行列式變號.
推論：如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等於零.
性質3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一數k，等於用數k乘此行列式.（記作ri×k （或ci×k ））.
推論：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面.（記作ri÷k（或ci÷k））.
性質4：行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等於零.
性質5：若行列式的某一行（列）的元素都是兩數之和，例如第i 行的元素都是兩數之和：

$D = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a 11 ⋮ a i 1 + a ‘ i 1 ⋮ a n 1 a 12 ⋮ a i 2 + a ‘ i 2 ⋮ a n 2 \dots \dots \dots a 1 n ⋮ a i n + a ‘ i n ⋮ a n n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟$
則D等於下列2個行列士只和：
D=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮ann⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜a11⋮a‘i1⋮an1a12⋮a‘i2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮a‘in⋮ann⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
性質6：把行列式的某一行（列）的各元素乘同一數然後加到另一行（列）對
應的元素上去，行列式不變.

餘子式：在n 階行列式中，把（i，j）元aij 所在的第i行和第j列劃去後，留下來的n-1階行列式叫做（i，j）元aij 的餘子式，記作Mij 。
代數餘子式：Aij=(−1)i+jMij ，Aij 叫做（i，j）元aij 的代數餘子式.
引理：一個n 階行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元aij 外都爲零，那麼這行列式等於aij 與它的代數餘子式的乘積，即 $D = a i j A i j$
定理2：行列式等於它的任一行（列）的各元素與其對應的代數餘子式乘積之和，即
$D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + \dots + a i n A i n (i = 1, 2, \dots, n)$
或 $D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + \dots + a n j A n j (j = 1, 2, \dots, n)$
這個定理叫做行列式按行（列）展開法則。
推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數餘子式
乘積之和等於零.即
$a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + \dots + a i n A j n = 0, i \neq j$
或 $a 1 i A j 1 + a 2 i A 2 j + \dots + a n i A n j = 0, i \neq j$
綜合定理2及其推論，有關於代數餘子式的重要性質：
$\sum k = 1 n a k i A k j = {D ，當 i = j, 0 ，當 i \neq j$
或 $\sum k = 1 n a i k A j k = {D ，當 i = j, 0 ，當 i \neq j$

發表評論

所有評論

還沒有人評論，想成為第一個評論的人麼? 請在上方評論欄輸入並且點擊發布.