Q:簡述計算機三大變換的聯繫和區別 (傅里葉變換 拉普拉斯變換 z變換)
（1） 傅里葉變換定義：
表示能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。傅立葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。許多波形可作爲信號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅立葉變換用正弦波作爲信號的成分。
f(t)是t的周期函數，如果t滿足狄裏赫萊條件：在一個以2T爲週期內f(X)連續或只有有限個第一類間斷點，附f（x）單調或可劃分成有限個單調區間，則F（x）以2T爲週期的傅里葉級數收斂，和函數S（x）也是以2T爲週期的周期函數，且在這些間斷點上，函數是有限值；在一個週期內具有有限個極值點；絕對可積。則有下圖①式成立。稱爲積分運算f(t)的傅立葉變換，
②式的積分運算叫做F(ω)的傅立葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的像函數，f(t)叫做F(ω)的像原函數。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。
①傅立葉變換
②傅立葉逆變換
（2）拉普拉斯變換定義：
拉普拉斯變換是工程數學中常用的一種積分變換，又名拉氏變換。 拉氏變換是一個線性變換，可將一個有參數實數t（t≥ 0）的函數轉換爲一個參數爲複數s的函數。拉普拉斯變換在許多工程技術和科學研究領域中有着廣泛的應用，特別是在力學系統、電學系統、自動控制系統、可靠性系統以及隨機服務系統等系統科學中都起着重要作用。
拉普拉斯變換的公式：
拉普拉斯變換是對於t>=0函數值不爲零的連續時間函數x(t)通過關係式
(式中-st爲自然對數底e的指數)變換爲復變量s的函數X(s)。它也是時間函數x(t)的“複頻域”表示方式。
（3）Z變換定義：
Z變換（英文：z-transformation）可將時域信號（即：離散時間序列）變換爲在複頻域的表達式。它在離散時間信號處理中的地位，如同拉普拉斯變換在連續時間信號處理中的地位。離散時間信號的Z變換是分析線性時不變離散時間系統問題的重要工具，在數字信號處理、計算機控制系統等領域有着廣泛的應用。
雙邊Z變換
離散時間序列x[n]的Z變換定義爲：
式中 
通常意義下的Z變換指雙邊Z變換，單邊Z變換隻對右邊序列（
部分）進行Z變換。單邊Z變換可以看成是雙邊Z變換的一種特例，對於因果序列雙邊Z變換與單邊Z變換相同。
單邊Z變換定義爲 ：
（4）關係和區別：
傅立葉變換是最基本得變換，由傅里葉級數推導出。傅立葉級數只適用於週期信號，把非週期信號看成周期T趨於無窮的週期信號，就推導出傅里葉變換，能很好的處理非週期信號的頻譜。但是傅立葉變換的弱點是必須原信號必須絕對可積，因此適用範圍不廣。
拉普拉斯變換是傅立葉變換的推廣，傅立葉變換不適用於指數級增長的函數，而拉氏變換相當於是帶有一個指數收斂因子的傅立葉變換，把頻域推廣到複頻域，能分析的信號更廣。然而缺點是從拉普拉斯變換的式子中，只能看到變量s，沒有頻率f的概念，要看幅頻響應和相頻響應，還得令s=j2πf
Z變換的本質是離散時間傅里葉變換（DTFT），如果說拉普拉斯變換專門分析模擬信號，那Z變換就是專門分析數字信號，Z變換可以把離散卷積變成多項式乘法，對離散數字系統能發揮很好的作用。Z變換看系統頻率響應，就是令Z在複頻域的單位圓上跑一圈，即Z=e^(j2πf)，即可得到頻率響應。由於傅里葉變換的特性“時域離散，則頻域週期”，因此離散信號的頻譜必定是週期的，就是以這個單位圓爲週期，Z在單位圓上不停的繞圈，就是週期重複。單位圓0°位置是實際頻率0HZ，單位圓180度的實際頻率就是採樣頻率的一般,fs/2.
總結一下：拉普拉斯變換是傅里葉變換的擴展，傅里葉變換是拉普拉斯變換的特例，z變換是離散的傅里葉變換在複平面上的擴展。
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