線性代數的本質-基變換

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頭皮發麻的炸裂，

我們知道向量是有大小和方向的數據，在數學上使用座標來表示，座標的關鍵在與基向量。比如二維座標的基向量我們通常採用 $i=\binom{1}{0} ,j=\binom{0}{1}$ 來表示他們的基向量，

一個向量比如 $\binom{a}{b}=a*\binom{1}{0}+b*\binom{0}{1}$

但是如果我們想換一個基座標呢，我們使用假設的新座標表示一個向量 $\binom{2}{1}=2*\binom{a1}{a2}+1*\binom{b1}{b2}$ ,

這個新座標的基向量就是 $\binom{a1}{a2},\binom{b1}{b2}$ 那麼我們想讓這個新座標下的向量用我們常用座標 $\binom{1}{0}, \binom{0}{1}$ 表示呢 ,因該怎麼做？

我們知道矩陣表示的是線性變換，線性變換又是通過基座標的改變來表示，也就是矩陣中列的數，比如

$\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}$ ，我們假設 $A=\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}$ ,那麼這個A表示的就是矩陣旋轉90°這個線性變換，那麼矩陣乘以向量，就是這個向量做了這個線性變化後，這個向量變成了什麼向量比如 $\begin{bmatrix} -1 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}\binom{1}{1}=\binom{-1}{1}$

我們發現新座標的基向量 $\binom{a1}{a2},\binom{b1}{b2}$ ，如果用 $\binom{1}{0}, \binom{0}{1}$ 來看的話就是 $\binom{2}{1}, \binom{-1}{1}$ ，其實我們不明白的就是爲什麼

$\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 1&1 \end{bmatrix}\binom{2}{1}=\binom{-4}{1}$ ,用文字描述就是新座標下的向量（2，1）經線性運算，變成了（0，1）座標系下的（-4，1）

這個公式就完成了新座標系的向量轉化成（0，1）座標系的向量我怎麼想都不能理解

其實這個中間少了一步 $\begin{bmatrix} a1 &b1 \\ a2&b2 \end{bmatrix}\Rightarrow A\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}$

我們把新座標用（0，1）座標表示就已經做了一次轉換，意思就是A表示了一個線性變換新基座標轉化爲（0，1）座標

那麼我們使用新基座標的（2，1）乘以矩陣A，就表示對（2，1）做了A變換，也就是把（2，1）從新座標下的向量變成了（0，1）座標下的向量，也就是（-4，1）

那麼A的逆又是什麼呢，哈哈。。。。。。。。老座標變成新座標那麼（-4，1）乘以A的逆就等於新座標系表示下的向量

總結，A表示的就是新座標線性變換成老座標，新座標系下的向量乘以A=老座標系的向量。老座標系的向量乘以A的逆=新座標系的向量。

不僅向量是依靠基座標系，矩陣（線性變換）也依靠着基座標系

那麼我們怎在新座標系下表示矩陣的線性運算呢，比如咋（0，1）座標下的線性變換 $A=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0&-1 \end{bmatrix}$ 在新座標系下怎麼表示呢

首先我們使用任意向量v ，v表示的是新座標系下的一個向量，

$\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 1& 1 \end{bmatrix}v$ 表示的是v在（0，1）座標下的向量，

$\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 1& 1 \end{bmatrix}v$ ,表示了v在（0，1）座標下的向量做線性變換後的向量，

$\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^\top\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 1& 1 \end{bmatrix}v$ ，表示的是v在（0，1）座標下的向量做線性變換後的向量做線性變換，變成了新座標下的向量

所以在（0，1）下的線性變換 $\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0&-1 \end{bmatrix}$ 與新座標系下的 $\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^\top\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 1& 1 \end{bmatrix}$ 表示的是同一個變換

$A^{-1}MA$ 暗示着一種數學上的轉移作用，中間的M就是轉換矩陣（線性變換），兩側的矩陣具有轉移的作用，也就是視角上的轉化，矩陣乘積後任然表示同一個線性變換，只不過從其他人的視角來看。

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