数论总结

总结一波数论基础知识。。。。大佬勿入

拓展欧几里得：

这么水，直接上代码比较方便：

LL ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) //求解一个方程：ax+by=gcd(a,b)的一组特解。
    {LL x1,y1,d; 
    if(b==0) //若b为0显然此时x=1，y=0
        {x=1;y=0;return a; 
        } 
    d=ex_gcd(b,a%b,x1,y1);//将求解转化为求解方程：bx+(a%b)y=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)，顺便求一下gcd(a,b)
    x=y1;y=x1-a/b*y1; //将得到的解转化一下。
    return d; 
    }

乘法逆元

定义：记数x$x$ 在模k$k$ 意义下的乘法逆元为x−1$x^{-1}$ ,即满足模方程：x∗x−1=1(mod,k)$x\ast x^{-1}=1(mod,k)$
逆元在求模数时十分有用。
注:有的数可能没有乘法逆元

求法1：

根据欧拉定理可得：对于任意整数n$n$ ，均存在：xϕ(n)=1(mod,n)$x^{\varphi (n)}=1(mod,n)$
故:x∗xϕ(n)−1=1(mod,n)$x\ast x^{\varphi (n)-1}=1(mod,n)$ 所以任意数x$x$ 模n$n$ 意义下的的乘法逆元为：xϕ(n)−1$x^{\varphi (n)-1}$
用快速幂求解即可。时间复杂度：O(log2n)$O(lo{g}_{2}n)$
注：一般只用于n$n$ 素数时，欧拉函数难得算，但是素数时ϕ(p)=p−1$\varphi (p)=p-1$ ,考试时一般用的是素数
~~不用贴代码了吧。。。水的很~~

求法2：

我们将模方程换一个方式写下：x∗x−1=1+k∗n,n显然为整数$x\ast x^{-1}=1+k\ast n,n显然为整数$
移项得：

x∗x−1−k∗n=1$$x\ast x^{-1}-k\ast n=1$$

其中x−1与n$x^{-1}与n$ 为未知数，是不是很像方程：ax+by=1?
于是就可以用拓展欧几里得求解x在k下的逆元，注意x与k$x在k下的逆元，注意x与k$ 如果不互质，要除掉gcd。

组合数

还是解释一下吧：
Cmn为在n个元素中选取m个个元素出来且不考虑元素的排列顺序的方案数$C_n^m为在n个元素中选取m个个元素出来且不考虑元素的排列顺序的方案数$

Cmn=n!/(m!∗(n−m)!)=Cmn−1+Cm−1n−1=Cm−1n∗（n−m+1）/m$$C_n^m=n!/(m!\ast (n-m)!)=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}=C_n^{m-1}\ast （n-m+1）/m$$

好了就这样吧。

求法1：数据小时打表啦

用递推式递推即可。

for(i=0;i<=2000;i++)c[i][0]=1;
    for(i=1;i<=2000;i++)
        for(LL j=1;j<=i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;

求法2，求解的组合数中有炒鸡大的数，比模数还大：卢卡斯定理

卢卡斯定理很难说，直接上代码：

LL lucas(int x,int y){
    if(x<mod&&y<mod)return C(x,y);
    return (C(x%mod,y%mod)+C(x/mod,y/mod))%mod;
} 

很简单对不对？剩下的可以用打表法预处理或者预处理阶乘求解即可。

求法3没有办法的办法：线性求C：

根据Cmn=Cm−1n∗（n−m+1）/m$C_n^m=C_n^{m-1}\ast （n-m+1）/m$ 线性求，时间复杂度O(n)$O(n)$ ，如果要取余还要求个逆元就是O(nlog2n)$O(nlo{g}_{2}n)$ 。

void getc(int x,int y){
    LL i,ans=1;
    for(i=1;i<=x;i++)ans=((ans*(y-i+1))%mod*getni(i))%mod;
}

欧拉线性筛模板

还是看代码吧：在莫比乌斯反演中非常有用

int pi[100010],prime[100010];
bool mark[100010]
void getpi(){//欧拉线性筛，求解欧拉函数与质数
    int cnt=0,i,j;
    for(i=2;i<=n;i++){
        if(!mark[i]){
            prime[++cnt]=i;//若当前数没被筛到，则它是质数。
            pi[i]=i-1;//质数的欧拉函数是该数减1 
            }
        for(j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=n){
            mark[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0){
                pi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else pi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//分类讨论枚举 
        }
    }
}

时间复杂度O(n)$O(n)$ 时间用的很少的暴力筛。

顺便一提：欧拉函数与欧拉定理

欧拉函数：ϕ(n)$\varphi (n)$ 为比n小且与n互质的数字个数。它的性质多得不得了。
欧拉定理：

xϕ(n)=1(mod,n)$$x^{\varphi (n)}=1(mod,n)$$

这个没多大用处的。但是，它可以压缩快速幂的计算复杂度：

ab=ab%ϕ(k)(mod,k),gcd(a,p)=1$$a^b=a^{b\mathrm{\%}\varphi (k)}(mod,k),gcd(a,p)=1$$

条件太苛刻了，于是又有拓展：

ab=ab%ϕ(k)+ϕ(k)(mod,k)$$a^b=a^{b\mathrm{\%}\varphi (k)+\varphi (k)}(mod,k)$$

中国剩余定理：

对于一个数x$x$ ，对于所有i$i$ 满足：

x=bi(mod,wi)$$x=b_i(mod,w_i)$$

则它的最小正整数解为：
令P=∏n1wi$P=\prod _1^n{w}_i$ ,Mi=P/Wi$M_i=P/W_i$ ,M−1i$M_i^{-1}$ 为Mi$M_i$ 在模wi$w_i$ 意义下的逆元。
则

x=∑(Mi×M−1i×bi)%P$$x=\sum (M_i\times M_i^{-1}\times b_i)\mathrm{\%}P$$