算法學習(二)：動態規劃（DP）（1）

一：基本思想
與分治法類似，其基本思想也是將待求問題分解爲若干個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。與分治法不同的是，DP求解的問題，經分解得到的子問題往往不是互相獨立的。
二：解題步驟
1）：分析一個最優解決方案應該具備的結構
2）：遞歸定義最優解決方案
3）：由底至上構建一個最優解決方案
三：經典題目
1：最長公共子序列LCS：已知兩個數列S1和S2，長度分別爲m和n，求最長公共子序列的長度和序列
設c[i,j]=LCS{S1[1…i],S2[1…j]}，則c[m,n]=LCS{S1,S2},注意到
{c[i-1,n-1]+1 S1[i]=S2[j]
c[i,j]={max{c[i-1,j],c[i,j-1]} S1[i]≠S2[j]
這便是此問題的最優子結構特性，代碼如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
using namespace std;
char A[100];
char B[100];
char S[100];//用來記錄最長公共子序列
int c[100][100]={0};//用來記錄當前最長公共子序列長度
void readdata()
{
    cin>>A;
    cin>>B;
}
int lcs()
{
    int m = strlen(A);
    int n = strlen(B);
    int k=0;
    for(int i = 1;i <= m;i++)//從1開始，防止出現數組角標爲-1
        for(int j = 1;j <= n;j++)//從1開始
    {
        if(A[i-1]==B[j-1])//字符串本身是從0開始
            {
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
                if(i>=j)//保證順序正確
                    S[k++]=A[i-1];//記錄公共數據
            }
        else if(c[i-1][j]>c[i][j-1])
            c[i][j]=c[i-1][j];
        else
            c[i][j]=c[i][j-1];
    }
    return c[m][n];//返回最長公共子序列
}
int main()
{
    readdata();
    cout<<lcs()<<endl;
    cout<<S<<endl;
    return 0;
}