bzoj2876: [Noi2012]騎行川藏 ：拉格朗日乘數法

題目鏈接

bzoj2876

題目描述

Description

蛋蛋非常熱衷於挑戰自我，今年暑假他準備沿川藏線騎着自行車從成都前往拉薩。川藏線的沿途有着非常美麗的風景，但在這一路上也有着很多的艱難險阻，路況變化多端，而蛋蛋的體力十分有限，因此在每天的騎行前設定好目的地、同時合理分配好自己的體力是一件非常重要的事情。
由於蛋蛋裝備了一輛非常好的自行車，因此在騎行過程中可以認爲他僅在克服風阻做功（不受自行車本身摩擦力以及自行車與地面的摩擦力影響）。某一天他打算騎N段路，每一段內的路況可視爲相同：對於第i段路，我們給出有關這段路況的3個參數 si , ki , vi’ ，其中 si 表示這段路的長度， ki 表示這段路的風阻係數， vi’ 表示這段路上的風速（表示在這段路上他遇到了順風，反之則意味着他將受逆風影響）。若某一時刻在這段路上騎車速度爲v，則他受到的風阻大小爲 F = ki ( v - vi’ )2（這樣若在長度爲s的路程內保持騎行速度v不變，則他消耗能量（做功）E = ki ( v - vi’ )2 s）。
設蛋蛋在這天開始時的體能值是 Eu ，請幫助他設計一種行車方案，使他在有限的體力內用最短的時間到達目的地。請告訴他最短的時間T是多少。
【評分方法】
本題沒有部分分，你程序的輸出只有和標準答案的差距不超過0.000001時，才能獲得該測試點的滿分，否則不得分。
【數據規模與約定】
對於10%的數據，N=1；
對於40%的數據，N<=2；
對於60%的數據，N<=100；
對於80%的數據，N<=1000；
對於所有數據，N <= 10000，0 <= Eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi’ < 100。數據保證最終的答案不會超過105。
【提示】
必然存在一種最優的體力方案滿足：蛋蛋在每段路上都採用勻速騎行的方式。

Input

第一行包含一個正整數N和一個實數Eu，分別表示路段的數量以及蛋蛋的體能值。 接下來N行分別描述N個路段，每行有3個實數 si , ki , vi’ ，分別表示第 i 段路的長度，風阻係數以及風速。

Output

輸出一個實數T，表示蛋蛋到達目的地消耗的最短時間，要求至少保留到小數點後6位。

Sample Input

3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6

Sample Output

12531.34496464
【樣例說明】 一種可能的方案是：蛋蛋在三段路上都採用勻速騎行的方式，其速度依次爲5.12939919, 8.03515481, 6.17837967。

題解

拉格朗日乘數法是用來求條件極值的，極值問題有兩類，其一，求函數在給定區間上的極值，對自變量沒有其它要求，這種極值稱爲無條件極值。這一類可以通過求偏導解決，即分別以每個變元求導，導數同時爲0時取最值。其二，對自變量有一些附加的約束條件限制下的極值，稱爲條件極值。

求函數f(x1,x2,...,xn) 在滿足約束條件ϕ1(x1,x2,...,xn)=0,ϕ2(x1,x2,...,xn)=0,... 時的條件最值可以轉化爲求函數F(x1,...,xn,λ1,λ2,...)=f(x1,x2,...,xn)+λ1ϕ1(x1,x2,...,xn)+λ2ϕ2(x1,x2,...,xn)+... 的無條件最值。於是就可以用偏導來解決。

在此題中f(x1,x2,...,xn)=∑si/xi ,ϕ(x1,...xn)=∑ki(xi−vi)2si−E 。那麼很容易得到F(x1,x2,...,xn,λ) 對每個xi 和λ 求導後得到2λkix2i(xi−vi)=1 且∑ki(xi−vi)2si=E 我們發現x 關於λ 遞減，我們可以二分λ 然後二分解出x ，判斷條件是否滿足即可。

---

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;

#define eps 1e-12
double ans[10010],k[10010],s[10010],v[10010],E;
int n;

double solve(double a,int i){
    double l=max(0.0,v[i]),r=1e9,mid;
    while(r-l>eps){
        mid=(l+r)/2;
        if(2*a*k[i]*mid*mid*(mid-v[i])<=1) l=mid;
        else r=mid;
    }
    return mid;
}
int main(){
    scanf("%d%lf",&n,&E);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v[i]);
    double l=0,r=1e9,mid,sum;
    while(r-l>eps){
        mid=(l+r)/2; sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            ans[i]=solve(mid,i);
            sum+=k[i]*(ans[i]-v[i])*(ans[i]-v[i])*s[i];
        }
        if(sum>=E) l=mid; else r=mid;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) ans[0]+=s[i]/ans[i];
    printf("%.10f",ans[0]);
    return 0;
}