雙調歐幾里得旅行商問題

問題的描述如下(書中231頁)：

平面上n個點，確定一條連接各點的最短閉合旅程。這個解的一般形式爲NP的（在多項式時間內可以求出）。

J.L. Bentley 建議通過只考慮雙調旅程(bitonic tours)來簡化問題,這種旅程即爲從最左點開始，嚴格地從左到右直至最右點，然後嚴格地從右到左直至出發點。下圖(b)顯示了同樣的7個點的最短雙調路線。在這種情況下，多項式的算法是可能的。事實上，存在確定的最優雙調路線的O(n*n)時間的算法。

                       （a）                               (b)

（a）圖是最短的閉合旅程，長度爲24.89。（b）圖是問題經簡化後，同樣的點集的最短雙調閉合旅程，長度爲25.58。

解題思路：

根據簡化後的雙調歐幾里得旅行問題的性質，將點集依據各點x座標單調遞增來進行編號，我們設b[i,j]是最短雙調閉合旅程P(i,j)的長度(i<=j)，而最短雙條閉合旅程P(i,j)是指從點P[i]開始,嚴格地向左走（即是每次經過的點的x座標都比前一個點的x座標要小），直到最左點P[1],然後再嚴格向右走，直到終點P[j]爲止，在從P[i]到P[j]過程中的點有且只經過一次。設distance[i,j]是點P[i]到P[j]之間的歐式距離。

那麼，根據動態規劃的方法，我們要找出問題的最優子結構，並且遞歸定義出來，下面是問題的公式（大前提是i<=j）：

b[1,2]=distance(1,2)；最小的子問題，主要用於求解更大的子問題；

b[i,j]=b[i,j-1] + distance(j-1,j),如果i<j-1；

b[i,j]=min{ b[k,j-1] + distance(k,j) }，其中1<=k<j-1,如果i=j-1；

下面講解公式的由來，最短雙調旅程P(i,j)在到達終點P[j]之前，正常來說，按照雙調的概念，一定經過了一個其x座標剛好比點P[j]小的點，也就是P[j-1](當然當i=j-1時就另當別論了),所以如果當i<j-1時，最短雙調旅程P(i,j)的長度應該可以看成是其子問題P（i,j-1）的長度和點distance（j-1，j）的和。但是當i=j-1時，問題就不同了，因爲我們不能一開始從點P[i]直接跳到P[j]，因爲其他點都還沒有走過一次,所以在到達終點P[j]的前一個點不能再是點P[j-1]（即P[i]），那如何是好呢？因爲在到達終點P[j]之前肯定要經過一個點的，但不知道是哪個點，我們不妨設該點是P[k]，那麼k的範圍肯定是1<=k<j-1（因爲是除了點P[j-1]和P[j]之外的點），當然該點P[k]要使得雙調旅程P(i,j)的長度最短,於是在k的可能範圍中找，於是再使用一個min操作。i=j-1時的情況類似於矩陣鏈乘的問題,其實這也是動態規劃的慣用手法，假設一個最優選擇，然後再基於該最優選擇來定義問題。

這相當於我們每次求解問題P(i,j)，都作了一次選擇，要麼是點P[j-1]或是點P[k]作爲P[j]的前一個點，其示意圖如下：

要知道，我們要求解的問題結果是b[n,n],於是

b[n,n]=b[n-1,n]+distance(n-1,n)；

這裏要注意的一點，在之前的公式中，並不涉及求解類似b[i,i]的值,這裏定義了b[i,i]的情況。

除此之外，還涉及到了對最優解的重構的問題。我們將使用一個r[i][j]數組表示子問題P(i,j)在到達終點P[j]之前經過的一個點P[k]對應的k值（僅挨着點P[j]的點），則子問題的解可以組織爲其更小的子問題P（i，k）的解加上點P[k]和點P[j]。由之前的解題思路可知，對於問題P(i,j),當i=j-1時，k<i,當i<j-1時，k=j-1。

其實得到的最優解是個閉合旅程，所以從出發後的第一個點與到達之前的一個點的位置是等價的。如閉合旅程是76431257，也可以是75213467。

構造解的過程如下：

每次加入的點總是在序號大的點下，因爲問題P(i,j)總是分解爲子問題P(i,k),不管k是等於j-1，還是小於j-1，然後確定點P[k]是到達P[j]之前的一個點，這也是問題每次選擇的結果。使用一個數組存放序號，一邊從0開始，一邊從末尾開始。

以下是問題的實現：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
using namespace std;

#define N 7
struct Point{
    double x;
    double y;
};
struct Point points[N+1];
double b[N+1][N+1];
int r[N+1][N+1];


double distance(int i,int j);//第i，j點的歐式距離
double Euclidean_TSP();//最短閉合旅程長度
void my_print_path();//打印旅程

void main(int argc, char **argv){
    ifstream infile;
    infile.open("input.txt");//讀入一個有各點座標的文檔
    if (!infile)
    {
        cout<<"error!"<<endl;
    }
    int i=1;
    while (infile>>points[i].x>>points[i].y)
    {
        i++;
    }
    cout<<"最短雙調閉合旅程長度是："<<Euclidean_TSP()<<endl;
    my_print_path();
}

double distance(int i,int j){
    return sqrt((points[i].x-points[j].x)*(points[i].x-points[j].x)
        +(points[i].y-points[j].y)*(points[i].y-points[j].y));
}

double Euclidean_TSP(){
    b[1][2]=distance(1,2);//最小的子問題

    for (int j=3;j<=N;j++)
    {
        //i<j-1且i>=1時的情況
        for (int i=1;i<j-1;i++)
        {
            b[i][j] = b[i][j-1]+distance(j-1,j);
            r[i][j] = j-1;
        }
        //i=j-1的情況
        b[j-1][j] = b[1][j-1]+distance(1,j);//先設初值爲k=1時的值
        r[j-1][j] = 1;
        for (int k=1;k<j-1;k++)
        {
            double q = b[k][j-1]+distance(k,j);
            if (q < b[j-1][j])
            {
                b[j-1][j] = q;
                r[j-1][j] = k;
            }
        }
    }
    b[N][N] = b[N-1][N]+distance(N-1,N);
    return b[N][N];
}

void my_print_path(){
    int string[N];
    string[0]=N;
    string[1]=N-1;
    int k=N-1;
    int left_hand=N-1,right_hand=N,begin=2,end=N-1;
    for (int i=N-1,j=N;k!=1;)
    {
        k=r[i][j];
        if (left_hand>right_hand) //比較那邊的點的序號大
        {
            left_hand=k;
            string[begin]=k;
            begin++;
        }else{
            right_hand=k;
            string[end]=k;
            end--;
        }
        if (i==j-1)
        {
            j=i;
            i=k;
        }else if (i<j-1)
        {
            j=k;
        }
    }
    cout<<"該旅程是：";
    for (int index=0;index<N;index++)
    {
        cout<<string[index];
    }
    cout<<endl;
}

input.txt:

 

0 6

1 0

2 3

5 4

6 1

7 5

8 2

 

運行後：

最短雙調閉合旅程長度是：25.584

該旅程是：7643125

其實旅程也可以是7521346