多米諾骨牌問題 概率DP

題目描述

準備一個m行n列的二維多米諾骨牌進行遊戲。

遊戲的目標是讓二維的多米諾骨牌全部倒下。一個多米諾骨牌倒下的時候，有P的概率往下一列倒，有Q的概率往下一行倒，並觸碰該方向上與其相鄰的骨牌。

當一個倒下完成的時候，需要從第1行的第1列開始檢查，然後檢查第1行的第2列，… ，第m行的第1列，第m行的第2列…當檢查到有一塊骨牌沒有倒下，就需要觸碰當前骨牌。

問總共觸碰骨牌的期望值。

輸入

第一行包括兩個正整數m和n，表示當前二維多米諾的長和寬。
接下來m行，每行n個數字表示第[i][j]個多米諾骨牌往下倒的概率。
接下來m行，每行n個數字表示第[i][j]個多米諾骨牌往右倒的概率。

輸出

觸碰的期望

分析

以dp[i][j]表示i行j列的多米諾骨牌被手動觸碰的概率。

第一行第一列個多米諾骨牌是一定要觸碰的，其被觸碰的概率爲1。

第i行第j列個多米諾骨牌被手動觸碰的情況爲：
- 上面一行的多米諾不往下倒，即 1 - down[i-1][j]
- 左邊一行的多米諾不往右倒，即 1 - right[i][j-1]

由上可得：

dp[i][j] = (1 - down[i-1][j]) * (1 - right[i][j-1])

最後的結果就是二維dp的和。

需要理解多米諾往右倒和往下倒兩種情況，一般來講，多米諾可以往右邊倒，可以往下倒，也可以不倒，這是三個獨立事件。

#include <cstdio>
#include <string.h>
double down[505][505];
double right[505][505];

int main()
{

    memset(down, 0, sizeof(down));
    memset(right, 0, sizeof(right));

    int m, n;
    scanf("%d %d", &m, &n);
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            scanf("%lf", &down[i][j]);

    for (int i = 1; i <= m; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            scanf("%lf", &right[i][j]);

    double ans = 1.0;
    for (int i = 1; i <= m; i ++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (i == 1 && j == 1) continue;
            ans += (1.0 - right[i][j - 1]) * (1.0 - down[i - 1][j]);
        }
    }
    printf("%lf", ans);

}