[數學建模]數學建模算法和模型（B站視頻）（一）

層次分析法

層次分析法，簡稱AHP，是指將與決策總是有關的元素分解成目標、準則、方案等層次，在此基礎之上進行定性和定量分析的決策方法。

基本內容

層次分析法是指將一個複雜的多目標決策問題作爲一個系統，將目標分解爲多個目標或準則，進而分解爲多指標（或準則、約束）的若干層次，通過定性指標模糊量化方法算出層次單排序（權數）和總排序，以作爲目標（多指標）、多方案優化決策的系統方法。

層次分析法是將決策問題按總目標、各層子目標、評價準則直至具體的備投方案的順序分解爲不同的層次結構，然後用求解判斷矩陣特徵向量的辦法，求得每一層次的各元素對上一層次某元素的優先權重，最後再加權和的方法遞階歸併各備擇方案對總目標的最終權重，此最終權重最大者即爲最優方案。

層次分析法比較適合於具有分層交錯評價指標的目標系統，而且目標值又難於定量描述的決策問題。

基本原理

層次分析法根據問題的性質和要達到的總目標，將問題分解爲不同的組成因素，並按照因素間的相互關聯影響以及隸屬關係將因素按不同層次聚集組合，形成一個多層次的分析結構模型，從而最終使問題歸結爲最低層(供決策的方案、措施等)相對於最高層(總目標)的相對重要權值的確定或相對優劣次序的排定。

計算步驟

1.建立層次結構模型
將決策的目標、考慮的因素（決策準則）和決策對象按它們之間的相互關係分爲最高層、中間層和最低層，繪出層次結構圖。最高層是指決策的目的、要解決的問題。最低層是指決策時的備選方案。中間層是指考慮的因素、決策的準則。對於相鄰的兩層，稱高層爲目標層，低層爲因素層。

2.構造判斷(成對比較)矩陣
在確定各層次各因素之間的權重時，如果只是定性的結果，則常常不容易被別人接受，因而Santy等人提出一致矩陣法，即不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較，對此時採用相對尺度，以儘可能減少性質不同的諸因素相互比較的困難，以提高準確度。如對某一準則，對其下的各方案進行兩兩對比，並按其重要性程度評定等級。爲要素 i與要素j 重要性比較結果，表1列出Santy給出的9個重要性等級及其賦值。按兩兩比較結果構成的矩陣稱作判斷矩陣。判斷矩陣具有如下性質：

判斷矩陣元素的標度方法如下：
表1 比例標度表

因素i比因素j	量化值
同等重要	1
稍微重要	3
較強重要	5
強烈重要	7
極端重要	9
兩相鄰判斷的中間值	2，4，6，8

! 第一行第二個數字表示C1比C2稍微不重要，第一行第三個數字表示C1比C3在稍微重要和較強重要之間

3.層次單排序及其一致性檢驗
對應於判斷矩陣最大特徵根的特徵向量，經歸一化(使向量中各元素之和等於1)後記爲W。W的元素爲同一層次因素對於上一層次因素某因素相對重要性的排序權值，這一過程稱爲層次單排序。能否確認層次單排序，則需要進行一致性檢驗，所謂一致性檢驗是指對A確定不一致的允許範圍。其中，n階一致陣的唯一非零特徵根爲n；n 階正互反陣A的最大特徵根λ>=n ，當且僅當 λ=n時，A爲一致矩陣。

由於λ連續的依賴於，則λ 比n 大的越多，A的不一致性越嚴重，一致性指標用CI計算，CI越小，說明一致性越大。用最大特徵值對應的特徵向量作爲被比較因素對上層某因素影響程度的權向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用 λ-n 數值的大小來衡量A 的不一致程度。定義一致性指標爲：

CI=0，有完全的一致性；CI 接近於0，有滿意的一致性；CI 越大，不一致越嚴重。
爲衡量CI 的大小，引入隨機一致性指標 RI：

其中，隨機一致性指標RI和判斷矩陣的階數有關，一般情況下，矩陣階數越大，則出現一致性隨機偏離的可能性也越大，其對應關係如表2：
表2 平均隨機一致性指標RI標準值(不同的標準不同，RI的值也會有微小的差異)

考慮到一致性的偏離可能是由於隨機原因造成的，因此在檢驗判斷矩陣是否具有滿意的一致性時，還需將CI和隨機一致性指標RI進行比較，得出檢驗係數CR，公式如下：

一般，如果CR<0.1 ，則認爲該判斷矩陣通過一致性檢驗，否則就不具有滿意一致性。

4.層次總排序及其一致性檢驗
計算某一層次所有因素對於最高層(總目標)相對重要性的權值，稱爲層次總排序。這一過程是從最高層次到最低層次依次進行的。