【矩陣論】13——矩陣分解——LU/LDV分解

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本系列文章使用的教材爲《矩陣論》（第二版），楊明，劉先忠編，華中科技大學出版社。

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LD分解

所謂LD分解就是方陣A與單位陣組成的增廣矩陣進行行變換（相當於左乘一個矩陣P）,那麼P就變成了下三角，PA就變成了上三角。具體過程如下：

這就是線代中的我們求逆矩陣用過的方式，只不過求逆的時候變成的形式爲

如此我們可以得到：

，令=，=。所以

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LDV分解

LDV分解就是在LU分解的基礎上，將U的對角線上全部化爲1，這個D就是U的對角線上的元素組成的對角陣。

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用LDV分解求解方程組.

設有方程組AX=b.

則上式可寫爲

                            

記得

又記得

 

所以我們把求解AX=b轉化爲了求

1. ,這裏求出了，是下三角矩陣，很容易求。得出的帶入下式繼續求

2. ，這裏求出了，是對角陣，也是很容易求得，得出的帶入下式求

3. ，最後被求出來了，是上三角矩陣，很容易求出。