SVD解決平面擬合問題

原創

ochenwen

2018-11-26 01:34

已知若干三維點座標( $x_{i},y_{i},z_{i}$ ),擬合出平面方程 (1)

約束條件爲 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ (2)

使得該平面到所有點的距離之和最小。

推導過程如下：

所有點的平均座標爲（ $\bar{x},\bar{y},\bar{z}$ ）,則 $a\bar{x}+b\bar{y}+c\bar{z}=d$ . (3)

式（1）與式（3）相減，得 $a(x_{i}-\bar{x})+b(y_{i}-\bar{y})+c(z_{i}-\bar{z})=0$ (4)

假設矩陣 $A=\begin{bmatrix} x_{1}-\bar{x},y_{1}-\bar{y},z_{1}-\bar{z}\\ x_{2}-\bar{x},y_{2}-\bar{y},z_{2}-\bar{z}\\ x_{3}-\bar{x},y_{3}-\bar{y},z_{3}-\bar{z}\\ ...\\ x_{n}-\bar{x},y_{n}-\bar{y},z_{n}-\bar{z} \end{bmatrix}$ ,列矩陣X = $\begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}$ ,則式（4）等價與AX=0 (5)

理想情況下所有點都在平面上，式（5）成立；實際情況下有部分點在平面外，擬合的目的爲平面距離所有點的距離之和儘量小，所以目標函數爲 $min\left \| AX \right \|$ (6)

約束條件爲 $\left \| X \right \|=1$ (7)

若A可做奇異值分解： $A = UDV^{T}$ (8)

其中，D是對角矩陣，U和V均爲酉矩陣。

則 $\left \| AX \right \|=\left \| UDV^{T}X \right \|=\left \| DV^{T}X \right \|$ (9)

其中 $V^{T}X$ 爲列矩陣，並且 $\left \| V^{T}X \right \|=\left \|X \right \|=1$ (10)

因爲D的對角元素爲奇異值，假設最後一個對角元素爲最小奇異值，則當且僅當 $V^{T}X=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ ...\\ 1 \end{bmatrix}$ （11）時，式（9）可以取得最小值，即式(6)成立。

此時 $X=V\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ ...\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} v_{1} &v_{2} &v_{3} &... &v_{n} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ ...\\ 1 \end{bmatrix}=v_{n}$ (11)

所以，目標函數（6）在約束條件（7）下的最優解爲 $X=(a,b,c)=(v_{n,1},v_{n,2},v_{n,3})$ (12)

綜上：對矩陣A做奇異值分解，最小奇異值對應的特徵向量就是擬合平面的係數向量。

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