【立體視覺】相機成像模型---包含相機畸變

相機的理想成像模型爲小孔成像模型，小孔成像模型座標轉換參考上一篇博客：
【計算機立體視覺】世界座標系、相機座標系、圖像座標系、像素座標系之間的關係

相機光學系統實際上會存在存在加工和裝配的誤差，透鏡就並不能滿足物和像成相似三角形的關係，所以相機圖像平面上實際所成的像與理想成像之間會存在畸變。

畸變屬於成像的幾何失真，是由於焦平面上不同區域對圖像的放大率不同形成的畫面扭曲變形的現象，這種變形的程度從畫面中心至畫面邊緣依次遞增，主要在畫面邊緣反映比較明顯。

實際的相機成像模型如下圖所示：

相機的畸變模型

針孔模型，只是相機成像的理想狀態，由於存在各種鏡頭的畸變和變形，所以真實的相機要比模型複雜的多。在引入各種非線性的畸變修正之後，就形成複雜的非線性成像模型。鏡頭的畸變主要分爲徑向畸變、切向畸變、離心畸變和薄棱鏡畸變等。

徑向畸變

定義：使像點產生徑向位置的偏差。徑向畸變又分爲正向畸變和負向畸變，正向畸變稱爲枕形畸變，負向畸變稱爲桶形畸變；

徑向畸變產生的主要原因是鏡頭徑向曲率的不規則變化，它會導致圖像的扭曲變形，例如，空間中的一條直線成像到圖像平面後發生彎曲，變形成一條曲線。這種畸變的特點是以主點爲中心，沿徑向移動，離的距離越遠，產生的變形量就越大。徑向畸變是導致圖像畸變的主要因素。

（1）枕形畸變：又稱鞍形形變，視野中邊緣區域的放大率遠大於光軸中心區域的放大率，常用在遠攝鏡頭中；

（2）桶形畸變，與枕形畸變相反，視野中光軸中心區域的放大率遠大於邊緣區域的放大率，常出現在廣角鏡頭和魚眼鏡頭中；

特點：由鏡頭的形狀缺陷所造成的畸變，關於相機主光軸對稱。

數學模型：

△r=k1r3+k2r5+k3r7...$$△r=k_1{r}^3+k_2{r}^5+k_3{r}^7...$$

其中，r=u2d+v2d−−−−−−√$r=\sqrt{u_d^2+v_d^2}$ ，爲像點到中心店的距離；k1,k2,k3...$k_1,k_2,k_3...$ 爲徑向畸變係數。

若令 ud=rsinθ,vd=rcosθ$u_d=rsin\theta ,v_d=rcos\theta$ ，則上式可寫爲：

{△ur=ud(k1r2+k2r4+k3r6+⋯)△vr=vd(k1r2+k2r4+k3r6+⋯)$$\{\begin{array}{c}△u_r=u_d(k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6+\cdots )\\ △v_r=v_d(k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6+\cdots )\end{array}$$

切向畸變

定義： 由於透鏡不是完美地平行於圖像平面，所以存在切向畸變。這種畸變使得一些區域看上去比預期的近。

數學模型：

{△ut=2p1udvd+p2(r2+2u2d)△vt=p1(r2+2v2d)+2p2udvd$$\{\begin{array}{c}△u_t=2p_1{u}_d{v}_d+p_2(r^2+2u_d^2)\\ △v_t=p_1(r^2+2v_d^2)+2p_2{u}_d{v}_d\end{array}$$

p1,p2爲切向畸變係數。

薄棱鏡畸變

定義：鏡頭設計缺陷與加工安裝誤差所造成；

特點：同時引起徑向畸變和切向畸變，高價位鏡頭可以忽略薄棱鏡畸變。

數學模型：

{△up=s2(u2d+v2d)△vp=s1(u2d+v2d)$$\{\begin{array}{c}△u_p=s_2(u_d^2+v_d^2)\\ △v_p=s_1(u_d^2+v_d^2)\end{array}$$

s1,s2爲薄棱鏡畸變係數。

總結

相機的總畸變爲：

△u=△ur+△ut+△up△v=△vr+△vt+△vp$$\begin{gathered} △u=△u_r+△u_t+△u_p \\ △v=△v_r+△v_t+△v_p \end{gathered}$$

一般主要畸變是徑向畸變和切向畸變，徑向畸變考慮前2項或者3項，切向畸變考慮前2項。

故opencv中使用這個5個參數描述攝像機畸變，即：

Distortion coefficients=(k1,k2,p1,p2,k3)

參考：

相機畸變詳細推導
相機標定（二）之相機畸變模型