2-1
a).插入排序對長度爲k的排序時間爲
b).總共的層數爲lg(n/k) + 1，每一層合併的複雜度爲
c).
d).
2-2
a).
A'中的每一個元素都能在A中找到且兩個數組中擁有相同的數量。
b).
我們先看代碼：
1 for i = 1 to A.length - 1
2 for j = A.length downto i + 1
3 if A[j] < A[j - 1]
4 exchange A[j] with A[j-1]
2~4行代碼，通過維持以下循環不變式，執行A.length - 1個基本步驟：
在for循環的每次迭代開始時，元素A[j]爲子數組A[j...A.length]中最小的元素。
初始化：首先證明在第一次循環迭代之前(j = A.length)，循環不變式成立。此時，數組A[j,A.length]中的元素數爲1。所以A[j]是數組A[j,A.length]中最小的元素，循環不變式成立。
保持：如果A[j] < A[j-1] 那麼這兩個元素將交換位置。否則不用。此時，A[j - 1] 爲 子數組A[j - 1, A.length]的最小元素。對for循環的下一次迭代減小j將保持循環不變式。
終止：此時j = i。根據循環不變式：A[i] 是 A[i...A.length]的最小元素。由於A[i...A.length]就是我們循環的整個數組，到此都滿足不變式，那麼，這個循環不變式成立。
c).
循環不變式：在for循環每次迭代之前子數組A[1..i-1]將會是子數組A[1..A.length]中最小的i-1的元素，並且已經排好序。
初始化：首先證明在第一次循環迭代之前(i = 1)，循環不變式成立。此時，數組A[1..i-1]中的元素數爲0。循環不變式成立。
保持：根據三到四行的循環不變式的終止結論，A[i]是A[i..A.length]中的最小元素。對for循環的下一次迭代i增加一將保持循環不變式。
終止：終止時，i的值爲A.length。子數組A[1..i-1]就已經是原數組的升序的狀態。
d).
我們假定if判斷的時間代價爲c1,交換的時間代價爲c2，for迭代的代價爲c，數組長度爲n
最差的時間爲((c1 +c2) * n + (c1 + c2) * (n - 1) * ... (c1 + c2) * 1) * c * c
所以最壞的時間複雜度爲
與插入排序相比，性能要差一些。他們最壞情況的時間複雜度都爲
2-3.
a).
b).
y = 0
for i = 0 to n
t = 1
for j = 0 to i - 1
t = t * x
y = y + ai * t
運行時間
c).
終止時：i = -1
d).
2-4
JAVA實現
import java.util.Random;
import java.util.Scanner;
public class ReverseAlignment {
final static int MAXN = 5;
static int nums[] = new int[MAXN];
public static int findPairs(int[] nums, int beg, int end) {
if(beg == end) return 0;
int ret = 0;
int mid = (beg + end) / 2;
//System.out.println(beg+" "+end + " " + ret);
ret = ret + findPairs(nums, beg, mid) + findPairs(nums, mid + 1, end);
int LL = beg, RR = mid + 1, pp = beg;
int[] tmp = new int[MAXN];
for(pp = beg; pp <= end; pp++) {
if(LL > mid || RR > end) break;
if(nums[LL] > nums[RR]) {
tmp[pp] = nums[RR++];
ret += mid - LL + 1;
//System.out.println(ret);
}
else {
tmp[pp] = nums[LL++];
}
}
while(LL <= mid) {
tmp[pp++] = nums[LL++];
}
while(RR <= end) {
tmp[pp++] = nums[RR++];
}
for(int i = beg; i <= end; i++) {
nums[i] = tmp[i];
}
//System.out.println(ret+ " " + beg + " "+end);
return ret;
}
public static void randomN(int[] nums, int n)
{
Random rand = new Random();
for(int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = rand.nextInt(100);
}
}
public static void print(int[] nums) {
for(int i = 0; i < MAXN; i++) {
System.out.print(nums[i] + " ");
}
System.out.println();
}
public static void input(int[] nums, int n) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
for(int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = sc.nextInt();
}
sc.close();
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
randomN(nums, MAXN);
//input(nums, MAXN);
print(nums);
int ans = findPairs(nums, 0, MAXN - 1);
print(nums);
System.out.println(ans);
}
}