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整除问题

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算法知识视频讲解

校招时部分企业笔试将禁止编程题跳出页面，为提前适应，练习时请使用在线自测，而非本地IDE。

题目描述

给定n，a求最大的k，使n！可以被a^k整除但不能被a^(k+1)整除。

输入描述:

两个整数n(2<=n<=1000)，a(2<=a<=1000)

输出描述:

一个整数.

示例1

输入

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6 10

输出

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1

思路

数据太大不可能直接计算，首先想到的思路应该是将n!和a分解成质因子的幂指数形式。a的分解很简单，关键是在于n!的分解。
考虑某个质因子p，则在1到n中一定有n/p个数，每个数至少向p的幂次贡献了1。（因为至少有n/p个p的倍数属于1到n，而在计算阶乘的时候这些倍数都会算上）。如果n/p为0，那么不可能还会有p的倍数向n!的分解贡献幂次，想一想为什么？
然后计算p*p，则和上面描述的一样，共有n/(p*p)个数对p的幂次贡献了1。为什么不是2呢？这是因为在计算n/p的时候已经计算过一遍了，所以不需要重复计算。
依次迭代，直到n/(p^k)为0，关于p的幂次才算计算完成。

那么如何计算k呢，现在已经得到a和n！的分解了，如果n！可以整除a^k，那么a的所有质因子都可以在n！中找到，并且k为相应幂次的倍数。

n!=p1^e1 *p2^e2 ··· pi^ei ···
a==p1^ee1 *p2^ee2 ··· pi^eei ···

则e1>=k*ee1 ,e2>=k*ee2 ……
找出其中最小的倍数k即可。

#include <iostream>
#include <queue>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <map>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <stack>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <typeinfo>
#include <cstring>


using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 1000004;
int prime[maxn];

std::vector<int> prm;


int fpow(int base,int exp){
	int ans=1;
	while(exp){
		if(exp&1)	ans*=base;
		base*=base;
		exp>>=1;
	}
	return ans;
}

void cr(void){
	memset(prime,1,sizeof(prime));
	prime[0]=prime[1]=0;
	for(int i=2;i<maxn;i++){
		if(prime[i]){
			prm.push_back(i);
			for(int j=i*2;j<maxn;j+=i)
				prime[j]=0;
		}
	}
	return;
}


int a[1003],b[1003];

int main(int argc, char const *argv[])
{
	cr();
	ll n,aa;
	while(cin>>n>>aa){
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(b,0,sizeof(b));
		int cnt;
		for(int i=2;i<=n;i++){
			cnt=0;
			if(prime[i]){
				int p=1;
				while(n/fpow(i,p)){
					cnt+=n/fpow(i,p);
					p++;
				}
				a[i]=cnt;
			}
		}
		int s=aa;

		for(int i=2;i<=s;i++){
			if(prime[i]){
				int cnt=0;
				while(aa%i==0){
					cnt++;
					aa/=i;
				}
				b[i]=cnt;
			}
		}

		/*for(int i=2;i<=s;i++)
			cout<<b[i]<<" ";
		cout<<endl;*/

		int mi=0x3f3f3f3f;
		for(int i=2;i<n;i++){
			if(b[i]){
				if(mi>a[i]/b[i])
					mi=a[i]/b[i];
			}
		}
		cout<<mi<<endl;
	}
	return 0;
}