Chapter 1 事件的概率 (reading notes)

0. 版權聲明

• “概率論與數理統計”系列讀書筆記來源於陳希孺先生所著《概率論與數理統計》[1]；
• 該系列筆記不以盈利爲目的，僅用於個人學習、課後複習、科學研究及交流討論；
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1.1 概率是什麼

• Symbol：
  • $\Omega$：必然事件；
  • $\overline{A}$：讀作 A bar，也可記爲 $A^c$，事件 A 的對立事件/補事件；
• 古典概型；
  幾何概型；
• 用頻率估計概率；
• Q：不可能事件發生概率爲0，必然事件發生概率爲1，但發生概率爲0不一定是不可能事件，發生概率爲1不一定是必然事件，爲什麼？
  A：
  • 零概率事件不等價於不可能事件；
  • E.g. 在幾何概型中，事件的發生概率被定義爲面積之比，點、線的面積爲0，因此對應零概率事件，零概率事件仍可能發生；

1.2 古典概率計算

• Term：

  • 階乘：$0!=0$，非負整數的階乘纔有意義；
  • 排列數：$P^n_r=\frac{n!}{(n-r)!}$；
  • 二項式係數/組合數/組合係數：$\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)=C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$；
    • 該式爲 $(a+b)^n$ 中 $a^ib^{n-i}$ 項的係數；
  • 多項式係數：$\frac{n!}{r_1!\cdots,r_n!}$；
    • 該式爲 $(x_1+\cdots +x_k)^n$ 中 $x^{r_1}_1\cdots,x^{r_k}_k$ 項的係數；
    • 含義：將 n 個物品分爲 k 類，每類中物體數量爲 $r_1,\cdots,r_k$；

• Q：n 個人排成一圈，有多少種排列方式？
  A：

  • $(n-1)!$ 種；
  • 將 n 個人排成一條直線，有 $n!$ 種排列方式，將直線首尾相接成爲一個圓，每個圓對應直線中 n 種排列方式，因此 $\frac{n!}{n}=(n-1)!$；
  • E.g. 下圖中兩個圓是同種排列方式，只是觀察角度有差異，該案例中有：直線中的4種排列方式對應該圓中的一種排列方式；

1.3 事件的運算、條件概率與獨立性

• 證明兩事件 A、B 相等的方法：
  • 先證明由事件 A 發生必有事件 B 發生；
  • 再證明由事件 B 發生必有事件 A 發生；
• $A+B$：事件 A 發生且 B 不發生的概率；
  • $(A-B)+B\neq A,(A-B)+B=A+B$，分析邏輯關係可證；
• 條件概率：$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$，且 $P(B)\neq0$；
• $P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)$；

References

[1] 陳希孺. 概率論與數理統計[M]. 合肥: 中國科學技術大學出版社, 2009.