Chapter 1 事件的概率 (reading notes)

0. 版权声明

• “概率论与数理统计”系列读书笔记来源于陈希孺先生所著《概率论与数理统计》[1]；
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1.1 概率是什么

• Symbol：
  • $\Omega$：必然事件；
  • $\overline{A}$：读作 A bar，也可记为 $A^c$，事件 A 的对立事件/补事件；
• 古典概型；
  几何概型；
• 用频率估计概率；
• Q：不可能事件发生概率为0，必然事件发生概率为1，但发生概率为0不一定是不可能事件，发生概率为1不一定是必然事件，为什么？
  A：
  • 零概率事件不等价于不可能事件；
  • E.g. 在几何概型中，事件的发生概率被定义为面积之比，点、线的面积为0，因此对应零概率事件，零概率事件仍可能发生；

1.2 古典概率计算

• Term：

  • 阶乘：$0!=0$，非负整数的阶乘才有意义；
  • 排列数：$P^n_r=\frac{n!}{(n-r)!}$；
  • 二项式系数/组合数/组合系数：$\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)=C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$；
    • 该式为 $(a+b)^n$ 中 $a^ib^{n-i}$ 项的系数；
  • 多项式系数：$\frac{n!}{r_1!\cdots,r_n!}$；
    • 该式为 $(x_1+\cdots +x_k)^n$ 中 $x^{r_1}_1\cdots,x^{r_k}_k$ 项的系数；
    • 含义：将 n 个物品分为 k 类，每类中物体数量为 $r_1,\cdots,r_k$；

• Q：n 个人排成一圈，有多少种排列方式？
  A：

  • $(n-1)!$ 种；
  • 将 n 个人排成一条直线，有 $n!$ 种排列方式，将直线首尾相接成为一个圆，每个圆对应直线中 n 种排列方式，因此 $\frac{n!}{n}=(n-1)!$；
  • E.g. 下图中两个圆是同种排列方式，只是观察角度有差异，该案例中有：直线中的4种排列方式对应该圆中的一种排列方式；

1.3 事件的运算、条件概率与独立性

• 证明两事件 A、B 相等的方法：
  • 先证明由事件 A 发生必有事件 B 发生；
  • 再证明由事件 B 发生必有事件 A 发生；
• $A+B$：事件 A 发生且 B 不发生的概率；
  • $(A-B)+B\neq A,(A-B)+B=A+B$，分析逻辑关系可证；
• 条件概率：$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$，且 $P(B)\neq0$；
• $P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)$；

References

[1] 陈希孺. 概率论与数理统计[M]. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2009.