《具體數學》（二）和式

遞歸式求和：

像這種類型的遞歸式，要快速求出的值，用暴力求的方法，是要算很久的。

所以來化簡一下2式：

f1：

用n-1代替n,則f2：

f1-f2:

這樣一來，原式就化簡成一個簡單的遞歸式了，即

問題再一次來了，怎麼求解這個遞歸式呢？

設,,,即

假設，存在一個滿足,即,令,即：

     =>        =>  將帶入前式，即：

,至此，就會有一個問題了,注意看,在求解這個遞歸式得：;所以

所以最後的結果是：,所以

再至此，就會剩下最後一個問題了是多少？

設,這個式子和最後出現的和式相似，事實上因爲他出現的如此頻繁，我們可以給他取一個名字調合數（小提琴絃所產生的第k個範音（harmonic）是弦長1/k處所產生的基音）。下面，求解：

 

所所以，結果是：

說實話，這篇文章也算不上原創，可以說全是書上的內容《具體數學  計算機科學基礎（第二版）》

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