多項式全家桶（二）：多項式的逆，導，積

$\ \ \ \ \ \ \,$這一部分麻煩一點了，但是很重要，幾乎所有多項式都得用的，不過好在也不是很複雜的。

---

1. 多項式求逆

$\ \ \ \ \ \ \,$P4238 【模板】多項式求逆

$\ \ \ \ \ \ \,$求一個多項式 $A$ 的模 $x^n$ 的逆元$B$ 時，假設先求出了模$x^{\frac{n}{2}}$ 的逆元 $B'$，既：

$A*B' \equiv 1\ (mod\ x^{\frac{n}{2}})$

$A*B \equiv 1\ (mod\ x^{n})$

$\ \ \ \ \ \ \,$那麼顯然存在：

$A*B \equiv 1\ (mod\ x^{\frac{n}{2}})=A*B'$

$B-B' \equiv 0\ (mod\ x^{\frac{n}{2}})$

$\ \ \ \ \ \ \,$兩邊同時平方：

$B^2-2BB'+B'^2 \equiv 0\ (mod\ x^n)$

$\ \ \ \ \ \ \,$再把 $A$ 乘回去：

$(A*B)*B-(A*B)*2B'+A*B'^2 \equiv A*0\ (mod\ x^n)$

$B-2B'+A*B'^2 \equiv 0\ (mod\ x^n)$

$B \equiv 2B'-A*B'^2\ (mod\ x^n)$

$\ \ \ \ \ \ \,$我們就可以倍增來處理它了，起點是$B_0 \equiv A_0^{-1}(mod\ x^1)$

inline Polynomial Inverse(const Polynomial &a){
	Polynomial ret,inv_a; 
	ret.resize(1);
  	ret[0]=Inv(a[0]);int ed=a.size();
	for(int len=2;len<=ed;len<<=1){
	 	int n=Prepare_Transformation(len+len);
	  	inv_a=a;inv_a.resize(n);ret.resize(n);
	  	for(int i=len;i<n;i++)inv_a[i]=0;
	  	NTT(inv_a,1);NTT(ret,1);
	  	for(int i=0;i<n;i++)ret[i]=1ll*(2ll-1ll*inv_a[i]*ret[i]%mod+mod)%mod*ret[i]%mod;
	  	NTT(ret,-1);
	  	//這裏把比較複雜的卷積過程拖下來了。
	  	for(int i=len;i<n;i++)ret[i]=0;
	  	//這裏不resize了，直接把多餘的清零。
	}
	ret.resize(ed);
	//resize回來，防止以後長度爆炸。
	return ret;
}

---

2. 多項式求導

$\ \ \ \ \ \ \,$按照公式來，公式挺簡單的，設多項式 $A$ 的導數爲 $A'$。

$\ \ \ \ \ \ \,$那麼有：

$x^{A'}=Ax^{A-1}$

$\ \ \ \ \ \ \,$既：

$A'_{i}=i\times A_{i+1}$

inline Polynomial Derivation(const Polynomial &a){
	int size=a.size();Polynomial ret;ret.resize(size);
  	for(int i=1;i<size;i++)ret[i-1]=1ll*i*a[i]%mod;
  	ret[size-1]=0;
	return ret;
}

---

3. 多項式求積

$\ \ \ \ \ \ \,$還是按照公式來，設多項式 $A$ 的積分爲 $A'$。

$\ \ \ \ \ \ \,$那麼有：

$\int x^{A'}dx=\frac{1}{A+1}x^{A-1}$

$\ \ \ \ \ \ \,$既：

$A'_{i}=\frac{A_{i-1}}{i}$

$\ \ \ \ \ \ \,$那就是乘逆元咯 （兄弟倆長得挺像

inline Polynomial Integral(const Polynomial &a){
	int size=a.size();Polynomial ret;ret.resize(size);
  	for(int i=1;i<size;i++)ret[i]=1ll*Inv(i)*a[i-1]%mod;
  	ret[0]=0;
	return ret;
}

---

4. 多項式複合逆

$\ \ \ \ \ \ \,$NFLSOJ #332. 多項式複合逆

$\ \ \ \ \ \ \,$對於一個多項式$F$，若是存在一個多項式$G$，使得：

$G(F(x))=x$

$\ \ \ \ \ \ \,$那麼就稱多項式$G$是多項式$F$的複合逆。

$\ \ \ \ \ \ \,$目前複合逆沒有$O(n \log n)$的做法，但是可以用拉格朗日反演做到$O(n^2 \log n)$，既每一項每一項得求，求一項的時間是$O(n \log n)$的，下面給出公式：

$G_i=\frac{\left(\frac{x}{F}\right)^i_{i-1}}{i}$

$\ \ \ \ \ \ \,$那麼求逆和卷積就好了，$x$都挺好處理的，證明很複雜，感興趣可以看這裏。

$\ \ \ \ \ \ \,$有一個值得注意的地方就是求逆的時候，應該直接求$\frac{F}{x}$的逆，而不是$F$的逆，因爲既然多項式 $F$ 存在複合逆，那麼常數項就應該是 $0$ ，這是不可能求逆的，先算出$\frac{F}{x}$即可。

$\ \ \ \ \ \ \,$若是需要$O(n \log n)$只求一項，則需要用到快速冪，下一篇我們會講到

inline Polynomial Composition_Inverse(const Polynomial &a){
	int n=a.size();
  	Polynomial ret,Cinv=a,Pow;
  	Cinv.resize(n);ret.resize(n);Pow.resize(n);Pow[0]=1;
  	for(register int i=0;i<n-1;i++)Cinv[i]=Cinv[i+1];Cinv[n-1]=0;
  	Cinv=Inverse(Cinv);
  	for(register int i=1;i<n;++i){
  		Pow=Pow*Cinv;Pow.resize(n);
  		ret[i]=1ll*Pow[i-1]*Inv(i)%mod;
	}
  	return ret;
}