多項式全家桶（五）：多項式三角函數，反三角函數

$\ \ \ \ \ \ \,$說好了，這個作用不大，主要是……過一下板子，趕時間的小朋友可以右上角叉叉了……

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1. 多項式$Sin$ & 多項式$Cos$

$\ \ \ \ \ \ \,$P5264 【模板】多項式三角函數

$\ \ \ \ \ \ \,$歐拉公式：

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

$\ \ \ \ \ \ \,$直接推公式：

$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$

$\ \ \ \ \ \ \,$加減一下得到:

$2\cos x=e^{ix}+e^{-ix}$

$2i\sin x=e^{ix}-e^{-ix}$

$\ \ \ \ \ \ \,$所以有：

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{i}$

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

$\ \ \ \ \ \ \,$用多項式$A$替換掉 $x$ 即可：

$\cos (A)=\frac{exp(i\cdot A)+exp(-i\cdot A)}{i}$

$\sin (A)=\frac{exp(i\cdot A)-exp(-i\cdot A)}{2i}$

$\ \ \ \ \ \ \,$多項式卷單項式，$exp$，求逆，多項式卷多項式就好了，現在問題是 $i$ 怎麼搞：

$\ \ \ \ \ \ \,$已知 $i^2=-1$，所以說 $i$ 既是 $mod-1$ 在 $\%mod$意義下的二次剩餘，具體怎麼算二次剩餘呢，可以看這裏，顯然可以預處理出來，前置和目錄裏面已經說的有了，既爲$img$。

inline Polynomial Sin(const Polynomial &a){
	return (Exponential(a*img)-Exponential(a*(mod-img)))*Inv(2ll*img%mod);
}
inline Polynomial Cos(const Polynomial &a){
	return (Exponential(a*img)+Exponential(a*(mod-img)))*Inv(2);
}

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2. 多項式$Asin$ & 多項式$Atan$

$\ \ \ \ \ \ \,$P5265 【模板】多項式反三角函數

$\ \ \ \ \ \ \,$這個東西比較麻煩啦，直接給公式咯，具體證明可以看教材：

$Asin(A)=\int \frac{A'}{\sqrt{1-A^2}}dx$

$Atan(A)=\int \frac{A'}{1+A^2}dx$

inline Polynomial Asin(const Polynomial &a){
	Polynomial As_a=a*a;
  	As_a.resize(a.size());
  	for(int i=0;i<a.size();i++)As_a[i]=(mod-As_a[i]);
	As_a[0]=(1+As_a[0])%mod;
  	return Integral(Derivation(a)*Inverse(Kth_root(As_a,2)));
}
inline Polynomial Atan(const Polynomial &a){
	Polynomial At_a=a*a;
  	At_a.resize(a.size());At_a[0]=(1+At_a[0])%mod;
  	return Integral(Derivation(a)*Inverse(At_a));
}