多項式全家桶（四）：多項式快速冪，開方

$\ \ \ \ \ \ \,$這是多項式的大頭了，實際使用多項式的$ln$和$exp$，這裏呢，也只講$ln$和$exp$的做法。

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1.多項式快速冪

$\ \ \ \ \ \ \,$P5245 【模板】多項式快速冪
$\ \ \ \ \ \ \,$P5273 【模板】多項式冪函數 (加強版)

$\ \ \ \ \ \ \,$已知：

$A^k=exp\left(ln(A)\times k\right)$

$\ \ \ \ \ \ \,$顯然求$ln$和$exp$就可以出答案了。

$\ \ \ \ \ \ \,$既然要求$ln$和$exp$，那麼一定要考慮的是常數項的問題，洛谷的常規題面有保證 $a_0=1$，所以說無腦套模板就對了。

$\ \ \ \ \ \ \,$那麼加強版沒有保證 $a_0=1$，我們如何算常數項呢？

$\ \ \ \ \ \ \,$容易知道，$ln$的常數項爲 $ln(a_0)$ ，$exp$的常數項是$exp(ln(a_0)\times k)$。好像算不出來呢。

$\ \ \ \ \ \ \,$可是$A^k=exp\left(ln(A)\times k\right)$，所以說$exp$的常數項是就應該是$A^k$的常數項，既 $a_0^k$ 。

$\ \ \ \ \ \ \,$所以說我們直接知道$exp$的常數項了，就不管他$ln$的常數項啦。

$\ \ \ \ \ \ \,$注意當$a[0]=0$時，常數項也應該是$B_0=0$，可是……常數項真的可以爲$0$嗎？

$\ \ \ \ \ \ \,$我們是要求 $F'(B)=\frac{1}{B}$ 的，分母當然不能爲 $0$ 了，所以說我們還是要單獨處理 $a[0]=0$ 的情況的。

$\ \ \ \ \ \ \,$把爲$0$的前綴提出來，然後算，最後在答案前面加上提出的長度乘上$k$個$0$即可，模板沒有管這個，需要自己注意。

inline Polynomial Power(const Polynomial &a,const int &K){
	int size=a.size();
  	Polynomial p_a=Logarithmic(a);
  	p_a.resize(size);
  	for(register int i=1;i<size;++i)p_a[i]=1ll*p_a[i]*K%mod;
  	return Exponential(p_a,power(a[0],K%(mod-1)));
  	//這裏求a[0]^k，用了歐拉定理優化
}

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2.多項式開方

$\ \ \ \ \ \ \,$P5205 【模板】多項式開根
$\ \ \ \ \ \ \,$P5277 【模板】多項式開根 (加強版)

$\ \ \ \ \ \ \,$已知：

$\sqrt{A}=exp\left(\frac{ln(A)}{2}\right)$

$\ \ \ \ \ \ \,$同理，求$ln$後，常數項帶入$\sqrt{A_0}$ 求 $exp$ 就可以出答案了，不是加強版的照樣直接貼模板也可以。

$\ \ \ \ \ \ \,$那麼求常數項就比較講究了，我們要求的是$\sqrt{A_0}\% mod$，也就是 $A_0$ 在 $\% mod$ 意義下的二次剩餘。

$\ \ \ \ \ \ \,$如果會二次剩餘，可以$O(\log mod)$求，不行還可以$BSGS$花時間 $O(\sqrt{mod})$ 求，時間差別不大，就先不放代碼了，代碼放在下一個環節，同理常數項爲 $0$ 的時候要特殊判斷。

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3.多項式開高次方

$\ \ \ \ \ \ \,$U67388 【模板】多項式開高次根

$\ \ \ \ \ \ \,$已知：

$\sqrt[k]{A}=exp\left(\frac{ln(A)}{k}\right)$

$\ \ \ \ \ \ \,$同理，求$ln$後，常數項帶入$\sqrt[k]{A_0}$ 求 $exp$ 就可以出答案了，現在主要是說一下如何用$BSGS$ 求 $\sqrt[k]{A_0}\% mod$，高次剩餘。

$\ \ \ \ \ \ \,$因爲需要保證有逆元或者可以直接除，所以需要保證 $k|(mod-1)$，或者 $k$ 與 $mod-1$ 互質。

inline int BSGS(int a,int b){
  	unordered_map<int,int>hash;hash.clear();b%=mod;
  	int t=(int)sqrt(mod)+1;
  	for(register int j=0;j<t;j++)hash[(int)(1ll*b*power(a,j)%mod)]=j;
  	a=power(a,t);
  	if(a==0)return b?-1:1;
  	for(register int i=0,val;i<=t;++i){
    	int j=hash.find(val=power(a,i))==hash.end()?-1:hash[val];
    	if(j>=0)return i*t-j;
  	}
  	return -1;
}
inline int Kth_Remaining(int a,int K){
	int P=BSGS(mod_g,a);
	if(P%K==0)P/=K;
	else{int x,y;exgcd(K,mod-1,x,y);if(x<0)x+=(mod-1);P=1ll*P*x%(mod-1);}
	int ret=power(mod_g,P);
	if(!(K&1))ret=min(ret,mod-ret);
	return ret;
}
inline Polynomial Kth_root(const Polynomial &a,const int &K){
	int size=a.size();
  	Polynomial s_a=Logarithmic(a);
  	s_a.resize(size);
  	int Kr=Inv(K);
  	for(register int i=1;i<size;++i)s_a[i]=1ll*s_a[i]*Kr%mod;
  	return Exponential(s_a,Kth_Remaining(a[0],K));
}

$\ \ \ \ \ \ \,$模板題是周道用P5273 【模板】多項式冪函數 (加強版)的板子出的數據，跑了一下應該沒有問題，自己寫也過了，感興趣可以寫一下。因爲目前還不能保證完全的正確性，所以說沒有計劃申請加入題庫。但是目前過開方，寫過幾道題，這代碼還是沒有問題的。歡迎$Hack$，有問題請聯繫QQ：2469265056。筆芯~