內生交乘項的處理

對於含有內生解釋變量 P 及其參與構成的交乘項 PX 的模型

顯然不考慮交乘項的內生性、只引入內生解釋變量 P 的工具變量 Z 進行兩階段最小二乘估計(2SLS)是不合理的。根據Ebbes et al.(2016)，對這種情況目前主要有兩種處理方式：

一、做兩個2SLS

Step 1: 對內生解釋變量 P 和含有內生解釋變量的內生交乘項 PX 分別做一階段迴歸：

Step 2: 將兩個一階段迴歸的擬合結果 $\hat{P}$ 和 $\hat{PX}$ 帶回到原模型中進行第二階段迴歸：

二、控制函數法(CF)

近些年來，學者們嘗試使用控制函數法(CF)來緩解內生性問題(Petrin and Train, 2010; Ebbes et al., 2011; Wooldridge, 2015)。與 2SLS 將第一階段迴歸的擬合項放入原迴歸方程中代替內生變量的做法不同，CF 則是將第一階段迴歸的殘差項直接作爲一個額外的迴歸項引入原方程中且並不對原方程的變量進行任何替換。舉個例子：

在以上模型中，P 爲內生變量，Z 爲其工具變量。該模型第一階段迴歸爲：

將第一階段迴歸的殘差 $\hat{\nu} = P-\hat{P}$ 直接加入原模型：

Verbeek(2012) 指出該模型的迴歸係數與 2SLS 完全一致。在這個過程中，體現了 CF 的樸素思想：CF認爲第一階段迴歸的殘差 $\hat{\nu}$ 捕捉了造成原模型存在內生性問題的“遺漏變量”。而將第一階段迴歸的殘差納入到原模型進行控制即可認爲原模型控制了造成內生性問題的“遺漏變量”，從而可以緩解內生性問題。從這個角度來說，我們可以通過檢驗 $\hat{\nu}$ 的係數 $\beta_2$ 是否顯著來判斷原模型是否存在內生性問題，相當於一個簡單版的 Hausman 檢驗。

而控制函數法解決含有內生交乘項模型的內生性問題的步驟也很簡單：

Step 1: 只做一個一階段迴歸:

Step 2: 將第一階段迴歸的殘差 $\hat{\nu} = P-\hat{P}$ 納入到原模型中進行迴歸：

注意CF方法雖然係數與2SLS完全一致，但是第二步迴歸的標準差並不準確，需要使用 Bootstrap 標準誤。

三、兩階段最小二乘(2SLS)與控制函數(CF)的區別與聯繫

1. 在工具變量(IV)的選擇上：

• CF與2SLS對工具變量的要求同樣嚴格，即工具變量需要與內生變量有較強的相關性，並且相對於誤差項有較強的外生性。

2. 在迴歸係數上：

• CF與2SLS在本文所述情形中的迴歸係數是完全一樣的(Verbeek, 2012)。

3. 在標準誤上：

• 2SLS 不需要做額外調整，CF 需要使用Bostrap標準誤，Karaca-Mandic and Train(2003) 和 Papies et al.(2017) 中提供了 CF 調整標準誤的算法。

4. 在適用範圍上：

• 對於線性模型，2SLS 相對於 CF 有絕對的優勢，因爲係數相同且不需要額外調整標準誤。
• 對於被解釋變量非連續的模型(比如二元選擇模型等)，CF 往往可以更直接有效地控制內生性。

參考文獻

[1] Ebbes P, Papies D, Van Heerde H J. The sense and non-sense of holdout sample validation in the presence of endogeneity[J]. Marketing Science, 2011, 30(6): 1115-1122.

[2] Ebbes P, Papies D, van Heerde H J. Dealing with endogeneity: a nontechnical guide for marketing researchers[J]. Handbook of market research, 2017: 1-37.

[3] Karaca‐Mandic P, Train K. Standard error correction in two‐stage estimation with nested samples[J]. The Econometrics Journal, 2003, 6(2): 401-407.

[4] Papies D, Ebbes P, Van Heerde H J. Addressing endogeneity in marketing models[M]. Advanced methods for modeling markets. Springer, Cham, 2017: 581-627.

[5] Petrin A, Train K. A control function approach to endogeneity in consumer choice models[J]. Journal of marketing research, 2010, 47(1): 3-13.

[6] Verbeek M. A guide to modern econometrics[M]. John Wiley & Sons, 2008.

[7] Wooldridge J M. Control function methods in applied econometrics[J]. Journal of Human Resources, 2015, 50(2): 420-445.