Matlab學習筆記（五）

複習

一些問題

1.使用時ode45等數值命令求解常微分方程應該注意哪些問題？
[t,x]=ode45(‘f’, [t0,tf], x0, options)

function y=f(t,x)
……

t：自變量值
x：函數值
ode45：運用組合的4/5階龍格-庫塔-芬格爾算法
‘f’：由待解方程寫成的m-文件名
ts：ts[t0, tf], 爲自變量的初值和終值
x0：函數的初值
options：用於設定誤差限（缺省時設定的相對誤差爲10^-3，絕對誤差10^-6）

2.代數方程（組）求根命令有哪些？使用時應該注意哪些問題？
solve、fzero、fsolve
solve不起作用時，選擇fsolve，fzero慎用，使用條件比較苛刻

3.請解釋以下三個命令的含義:
poly2sym(c), polyval(p,a), root(c)
poly2sym(c)：把係數數組轉換爲符號多項式
polyval(p,a)：求多項式函數p(x)在點a的值
roots(c)：多項式函數p(x)=0時所有根（複數根）

多項式函數在點a的值：polyval(p, a)

例：$p(x)=3x^4-7x^3+2x^2+x+1$，計算p(2.5)和p(3)的值

c = [3, -7, 2, 1, 1]; xi = [2.5, 3];
y1 = polyval(c, xi)
% 結果
y1 = 23.8125   76.0000

注意：

% 可以這樣寫
syms x
f = 3*x^4 - 7*x^3 + 2*x^2 + x + 1;
c = sym2poly(f) % 相對於poly2sym

多項式求根：roots

例：求方程 $2x^3+x^2+4x+5=0$ 的所有根

c = [2 1 4 5]
roots(c) % 可以直接這樣寫 roots([2 1 4 5])
% 結果
ans = 0.2500 + 1.5612i
      0.2500 - 1.5612i
     -1.0000 + 0.0000i

注意：MATLAB按慣例規定，多項式是行向量，根是列向量
思考：已知多項式的根，如何求解多項式？

pp = poly(ans)
% 結果
pp = 1.0000    0.5000    2.0000    2.5000

主要內容（大概）

目錄

多項式的四則運算

有理式的分解與合併（難點）

矩陣的生成與結構變換、矩陣的基本運算

多項式的四則運算 ↶

1.多項式的和與差：poly_add

c = poly_add(a, b); % 求兩個多項式的和
c = poly_add(a, -b); % 兩個多項式的差

注意：多項式的和差也可以利用向量加法計算。當兩個多項式階次不同，低階的多項式必須用首零填補，使其與高階多項式有同樣的階次。
例：

a =[1  6  20  50  75  84  64];  b=[2 6 12 20];
c = a + [0 0 0 b]
% 結果
c = 1     6    20    52    81    96    84

2.兩個多項式的乘積：conv

m階多項式與n階多項式的乘積是m+n階的多項式
a=conv(c,b);%多項式相乘，返回係數向量

例：

a=[2,-5,6,-1,9]; b=[3,-90,-18];
c=conv(a,b)
% 結果
c = 6  -195   432  -453   9  -792  -162

關於卷積（conv）的說明

將上述的a和b如上圖放置，就可以計算出第一個值 23 = 6，就是c中6的答案來源

下面這一行，向左平移一格，計算方式：-53 + 2*-90 = -195，也就是第二個值

相同的操作，計算方式：63 + (-5)(-90) + 2*(-18) = 432

以此類推，最後一位，就是 9*(-18) = -162

3.兩個多項式的商：deconv

[q, r]=deconv(b,c);%兩個多項式相除，
% 返回商的係數vector(q)和餘數係數vector(r)

注意: 從向量運算的角度看, 反捲積deconv是卷積conv的逆運算. 上式等價於b=conv(q,c)+r, 其中r可以看成誤差。

% 卷積
a=[2,-5,6,-1,9]; b=[3,-90,-18];
c=conv(a,b)
% 結果
c = 6  -195   432  -453   9  -792  -162
% 反捲積
[q,r]=deconv(c,b)
% 結果
q = 2    -5     6    -1     9
r = 0     0     0     0     0     0     0

有理式的分解與合併（難點） ↶

collect(f); %對符號多項式f進行合併同類項
expand(f)；%對符號多項式f進行展開
horner(f)；%對符號多項式f進行嵌套分解
factor(f)；%對符號多項式f進行因式分解

[a,b,r]=residue(p,q); %返回將p(x)/q(x)分解爲最簡式之和
[p,q]=residue(a,b,r); %返回將簡單分式之和合併爲有理分式

format rat; % 寫出分數的精確值的形式

1.有理函數分解預備知識

有理函數：兩個多項式的商表示的函數
$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_0x^n+a_1x^{x-1}+...+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+...+b_m}$
（1）n<m，真分式 （2）n >= m，假分式

有理函數的分解步驟：
有理函數 = 多項式 + 【真分式 ----> 分解爲若干最簡分式之和】

例：$\frac{x^3+x+1}{x^2+1}=x+\frac{1}{x^2+1}$

[m, n] = deconv([1 0 1 1], [1 0 1])
% 結果
m = 1     0 %相當於 x
n = 0     0     0     1 % 相當於 1

$\frac{x^3+x+1}{x^2+1}=x(餘1)$，就可理解爲 $x^3+x+1=x(x^2+1)+1$ 【理解爲一般的除法形式】，最後兩邊同除以 $x^2+1$ 即可以可到上面的結果

2.分母無重根：[a, b, r] = residue(B, A)

表達式如下：
$\frac{B(x)}{A(x)}=\frac{a(1)}{x-b(1)}+\frac{a(2)}{x-b(2)}+...+\frac{a(n)}{x-b(n)}+r(x)$
例：

clear
B=[1 0 1];A=[1 -6 11 -6];
[a,b,r]=residue(B,A)
% 結果
a = 5.0000
   -5.0000
    1.0000
b = 3.0000
    2.0000
    1.0000
r = [] % 餘項爲0

最後可以寫成：$\frac{x^2+1}{x^3-6x^2+11x-6}=\frac{5}{x-3}+\frac{-5}{x-2}+\frac{1}{x-1}$

例：$\frac{x^3+x+1}{x^2+1}=x+\frac{1}{x^2+1}$，之前的例子可以使用這個方法計算

format rat; %分數表示
[q, r, t] = residue([1 0 1 1], [1 0 1])
% 結果
q = 0        -    1/2i    
    0        +    1/2i    
r = 0        +    1i      
    0        -    1i      
t = 1              0    

最後可以寫成：$\frac{-0.5i}{x-i}+\frac{0.5i}{x+i}+x$，通分整理既可得到結果

3.分母的根是是m重根：[a, b, r]=residue(B, A)

若b(j)是多項式A(x)的m重根，則分解後含有重根的項寫成：
$\frac{a(j)}{x-b(j)}+\frac{a(j+1)}{(x-b(j))^2}+...+\frac{a(j+m-1)}{(x-b(j))^2}$
例：$f(x)=x^2+1;g(x)=(x+1)^2(x-1)$，求 $\frac{f(x)}{g(x)}$.

clear; format rat; %結果以分數形式展示
syms x
g = (x+1)^2*(x-1); % 寫出g的表達式
g = expand(g); % 對g(x)展開
A = sym2poly(g); % 收集g(x)的係數
[a, b, r] = residue([1 0 1], A) % 分解最簡式
% 結果
a = 1/2     
    -1       
    1/2     
b = -1       
    -1       
    1       
r = []

最終結果可以寫成：$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{1}{2}}{x+1}+\frac{-1}{(x+1)^2}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}$

4.分母含 $(x^2+px+q)^k$ 且 $p^2-4q&lt;0$ 時

[a, b, r] = residue(B, A)$x^2+px+q=0=&gt;a,b$以複數根形式展示

例：將 $\frac{x^5}{(x^2+x+1)^2}$ 分解爲最簡分式之和

clear
syms x
g = sym2poly(x^5)
f = sym2poly((x^2+x+1)^2);
[a, b, r] = residue(g, f)
% 結果
a =    1/2      - 1351/1080i 
       1/6      +  390/1351i 
       1/2      + 1351/1080i 
       1/6      -  390/1351i 
       
b =   -1/2      + 1170/1351i 
      -1/2      + 1170/1351i 
      -1/2      - 1170/1351i 
      -1/2      - 1170/1351i 
      
r =    1             -2    

矩陣的生成與結構變換、矩陣的基本運算 ↶

運算	意義
加法A+B	兩矩陣相加；數與矩陣相加；
減法A-B	兩矩陣相減；數與矩陣相減；
乘法A*B	兩矩陣相減；數與矩陣相乘；
點乘A.*B	兩矩陣對應元素相乘；
除法A\B和A/B	分別表示inv(B)B和Ainv(B)；(注意：反斜槓\表示左除)
點除A./B	兩矩陣對應元素分別相除；數a除以矩陣b中每個元素；
乘冪A^n	矩陣的冪；數的冪；
點乘冪A.^n	矩陣每個元素的冪；
轉置A.’	矩陣A的轉置;
共軛轉置A’	矩陣A的共軛轉置
inv(A)或A^(-1)	矩陣A的逆
sqrtm(A)或A^(1/2)	矩陣A開平方,其平方爲A
sqrt(A)	矩陣A各對應元素開方

1.Matlab求行列式：det(A)

數值行列式的求解

例：求矩陣A的行列式的值，$A=\begin{vmatrix} 2 &amp; 0 &amp; -1&amp;0 \\ 1&amp; 3&amp; 1&amp; -2\\ 0&amp; 1&amp; 3 &amp; -1\\ -1&amp; 2&amp;0 &amp; 1 \end{vmatrix}$

clear
A = [2 0 -1 0; 1 3 1 -2; 0 1 3 -1; -1 2 0 1];
det(A)
% 結果
ans = 32    

符號行列式的求解

例：計算行列式，$A=\begin{vmatrix} a &amp; 1 &amp; 0&amp;0 \\ -1&amp;b&amp; 1&amp; 0\\ 0&amp; -1&amp; e &amp;1\\ 0&amp; 0&amp;-1 &amp; d \end{vmatrix}$

clear
syms a b c d % 一定要聲明符號變量
A = [a 1 0 0; -1 b 1 0; 0 -1 c 1; 0 0 -1 d]; % 生成符號矩陣
det(A)
% 結果
ans = a*b + a*d + c*d + a*b*c*d + 1

2.應用1：克拉默法則求解線性方程組

例：用克拉默法則求解線性方程組 $\left\{\begin{matrix}-x_1-2x_2+4x_3=1 \\ 2x_1+x_2+x_3=1 \\ x_1+2x_2-x_3=2 \end{matrix}\right.$

A = [-1 -2 4; 2 1 1; 1 2 -1];
D = det(A);
if D~=0
D1 = [1 -2 4; 1 1 1; 2 2 -1];
D2 = [-1 1 4; 2 1 1; 1 2 -1];
D3 = [-1 -2 1; 2 1 1; 1 2 2];
end
x1 = det(D1)/D;
x2= det(D2)/D;
x3 = det(D3)/D;
% 結果
>> x1, x2, x3
x1 = -1       
x2 = 2       
x3 = 1  

3.應用2：矩陣運算求解線性方程組

例：用矩陣的運算求解方程組 $\left\{\begin{matrix}-x_1-2x_2+4x_3=1 \\ 2x_1+x_2+x_3=1 \\ x_1+2x_2-x_3=2 \end{matrix}\right.$

A= [-1 -2 4; 2 1 1; 1 2 -1];
b = [1 1 2]';
x = A\b % 也可以寫成 x = inv(A) * b
% 結果
x =   -1       
       2       
       1    

4.求解一般線性方程組

例：求解線性方程組 $\left\{\begin{matrix}x_1-x_2+x_3-x_4=1 \\ -x_1+x_2+x_3-x_4=1 \\ 2x_1-2x_2-x_3+x_4=-1 \end{matrix}\right.$

clear
A = [1 -1 1 -1; -1 1 1 -1; 2 -2 -1 1];
b = [1 1 -1]'; B = [A, b];
if rank(A) < rank(B)
disp('No solution!')
else
sol = sym(A\b);
w = sym(null(A, 'r'));
t = 4 - rank(A);
for i=1:t
k = sym('x', [1, t]);
sol = sol + k(i)*w(:, i);
end
sol
end
% 結果
sol = x1
      x1
  x2 + 1
      x2

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