線段樹進階 區間取模

                                        CF 438D - The Child and Sequence

題目要求的操作：

1 區間求和

2 區間取模

3 單點修改

這道題目不要用到 lazy數組，因爲條件是單點修改，直接修改的葉子節點，其次區間取模操作直接可以暴力。

  下面來分析爲什麼區間的取模操作爲什麼可以直接對區間裏所有的葉子節點暴力修改

a MOD b分爲兩種情況 1（a < b）2（a >= b）

對於第一種情況 我們不用操作，對自己大的數取模就是自己。

第二種情況 取模操作後a的值至少會減少一半 即：a <= a/2。

證明：

設 b + n = a。

a % b = （b + n）% b = （（b%b）+（n%b）) % b

此時有兩種情況 1。n >b   2。 n < = b

第一種情況：n >= b 我們可以重複第一步驟 將n替換成（n1 + b） = n，直到 最後的 ni < b爲止。

第二種情況：此時的 a%b = n成立。又有 (n+b = a，n < b)這兩個條件 。得 n + n < a , n<a/2。

所以 a%b <= a/2;

 這最壞就是二分情況，時間複雜度爲 O(log2 n) 在int範圍內我們可以接受。

 

我們在這裏要保存兩個值，一個是區間和，一個是區間的最大值（來判斷要不要進行取模操作）。剩下的就是線段樹的模板了

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <stdio.h>
#include <ctype.h>
#include <bitset>
#define  LL long long
#define  ULL unsigned long long
#define mod 1000000007
#define INF 0x7ffffff
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define MODD(a,b) (((a%b)+b)%b)
#define maxn 100010
using namespace std;
LL sum[maxn << 2];
LL  mx[maxn << 2];
LL a[maxn];
int lazy[maxn << 2];
int r[maxn];
void pushUp(int rt)
{
    mx[rt] = max(mx[rt << 1] , mx[rt << 1|1]);//區間最大值
    sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1|1];//區間和
}
/*void pushDown(int ln,int rn,int rt)
{
    if(lazy[rt]){
      lazy[rt << 1] += lazy[rt];
      lazy[rt << 1 | 1] += lazy[rt];
      sum[rt << 1] += lazy[rt];
      sum[rt << 1 | 1] += lazy[rt];
      lazy[rt] = 0;
    }
}*/
void buildTree(int l,int r,int rt)
{
    sum[rt] = 0,mx[rt] = 0;
    if(l == r){
      sum[rt] = a[l];
      mx[rt] = a[l];
      return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    buildTree(l,mid,rt << 1);
    buildTree(mid + 1,r,rt << 1 | 1);
    pushUp(rt);
}
void upDate(int L,int l,int r,int rt,LL v)
{
    if(r == l){
        sum[rt] = v;
        //lazy[rt] += v;
        mx[rt]  = v;
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    //pushDown(mid - l + 1,r - mid,rt);
    if(L <= mid) upDate(L,l,mid,rt << 1,v);
    else  upDate(L,mid + 1,r,rt << 1 | 1,v);
    pushUp(rt);

}
void upDate_mod(int L,int R,int l,int r,int rt,LL v)
{
    if(v > mx[rt]) return;
    if(l == r){//暴力找到根節點
        sum[rt] %= v;
        mx[rt] = sum[rt];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(L <= mid) upDate_mod(L,R,l,mid,rt << 1,v);
    if(R > mid) upDate_mod(L,R,mid + 1,r,rt << 1 | 1,v);
    pushUp(rt);
}
LL query(int L,int R,int l,int r,int rt)
{
    if(L <= l && R >= r){
        return sum[rt];
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
   // pushDown(mid - l + 1, r - mid,rt);
    LL ans = 0;
    if(L <= mid) ans += query(L,R,l,mid,rt << 1);
    if(R > mid)  ans += query(L,R,mid + 1,r,rt << 1 | 1);
    return ans;
}
int main()
{
      int n,m;
      scanf("%d%d",&n,&m);
      for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld",&a[i]);
      buildTree(1,n,1);

      for(int i = 0; i < m; i++){
        int x,y;
        char opt[3];
        scanf("%s",opt);
        if(opt[0] == '2'){
          LL Mod;
          scanf("%d%d%lld",&x,&y,&Mod);
          upDate_mod(x,y,1,n,1,Mod);

        }
        if(opt[0] == '1'){
          scanf("%d%d",&x,&y);
          printf("%lld\n",query(x,y,1,n,1));
        }
        if(opt[0] == '3'){
          int v;
          scanf("%d%d",&x,&v);
          upDate(x,1,n,1,v);

        }
      }





    return 0;
}