51nod 1020 1到n的全排列逆序對爲k的方案數

題目鏈接：

http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1020

題意：

在一個排列中，如果一對數的前後位置與大小順序相反，即前面的數大於後面的數，那麼它們就稱爲一個逆序。一個排列中逆序的總數就稱爲這個排列的逆序數。

如2 4 3 1中，2 1，4 3，4 1，3 1是逆序，逆序數是4。

1-n的全排列中，逆序數最小爲0（正序），最大爲n*(n-1) / 2（倒序）

給出2個數n和k，求1-n的全排列中，逆序數爲k的排列有多少種？

例如：n = 4 k = 3。

1 2 3 4的排列中逆序爲3的共有6個，分別是：

1 4 3 2

2 3 4 1

2 4 1 3

3 1 4 2

3 2 1 4

4 1 2 3

由於逆序排列的數量非常大，因此只需計算並輸出該數 Mod 10^9 + 7的結果就可以了。

輸入

第1行：一個數T，表示後面用作輸入測試的數的數量。（1 <= T <= 10000)
第2 - T + 1行：每行2個數n，k。中間用空格分隔。（2 <= n <= 1000, 0 <= k <= 20000)

輸出

共T行，對應逆序排列的數量 Mod (10^9 + 7)

輸入樣例

1
4 3

輸出樣例

6

題解：

用dp[i][j]表示i個不同的數字全排列，逆序對爲j的方案數

dp[i][j]=sigma dp[i-1][k]     max(0,j-(i-1))<=k<=j

狀態轉移是根據最末尾的數字的貢獻度進行枚舉的，如果最末尾數字是s，那麼s貢獻的逆序對數是s-1.

由於最末尾數字是1的時候貢獻度最大，是i-1.所以 邊界條件是 max(0,j-(i-1)).

根據狀態轉移方程可以看出，每個狀態等於上一行的某個區間和，區間和可以看成一個滑動窗口，可以用一個變量來維護。

預處理的複雜度是O(nk) ,每次查詢複雜度O(1)

題目給了128M的內存，如果數組用long long 大概需要160M的內存，int大概是80M.所以用int數組。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
int f[1001][20001];
void init(){
    f[1][0]=1;
    for(int i=2;i<=1000;i++){
        ll sum=0;
        for(int j=0;j<=min(20000,i*(i-1)/2);j++){
             sum=(sum+f[i-1][j])%mod;
             if(j>=i) sum=(sum-f[i-1][j-i]+mod)%mod;
             f[i][j]=sum;
        }
    }
}
int main(){
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n,k;
        scanf("%d%d",&n,&k);
        printf("%d\n",f[n][k]);
    }
    return 0;
}