何爲四元數？講解四元數的文章往往會把四元數跟複數聯繫在一起。誠然，四元數的起源跟複數有關係，但是理解複數系統並不是理解四元數的首要條件。
提到四元數，我們首先要提到一個人——萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler），根據歐拉旋轉定理（wiki），在三維空間裏，假設一個剛體在做一個位移的時候，剛體內部至少有一點固定不動，則此位移等價於一個繞着包含那固定點的固定軸的旋轉。還有另外一種闡述：3D中的任意角位移都能表示爲繞單一軸的單一旋轉。如圖所示：
所謂角位移也就是旋轉，我們通常用歐拉角表示，這也是最容易理解的一種形式。
那麼軸-角形式跟四元數有什麼關係？它們並不等同，但是卻也密不可分。
上圖的四元數表示法：
q=[cos(θ/2) sin(θ/2)e]
注意這裏e是圖中的向量，即
q=[cos(θ/2) sin(θ/2)ex sin(θ/2)ey sin(θ/2)ez]
那麼接着我們就要討論四元數跟複數的關係了，首先先把William Hamilton這個四元數的發明者提出來，免得大家覺得沒意思跳過了這段。
首先，什麼是複數？
我們知道在實數範圍裏，對負數開方是沒有意義的。但是偏偏有人願意做“沒有意義”（注意這裏是引號）的事情，於是定義了虛數i，i的平方等於-1。
那麼當實數和虛數加在一起，便成爲了複數。
a+bi
其中a被稱爲實部，b被成爲虛部。
因爲有實部和虛部，所以我們可以認爲在複數集存在於一個2D平面（複數平面，又稱高斯平面）上，兩個軸分別爲實軸和虛軸，這樣x+yi就可以視作一個2D的點P爲(x,y)。
當P繞原點旋轉角度θ時
我們可以用另外一個複數來表示這個旋轉：
q=cosθ+isinθ
旋轉後的點
p1=pq=(x+yi)(cosθ+isinθ)=(xcosθ-ysinθ)+(xsinθ+ycosθ)i
因爲i的平方爲-1，所以複數爲我們提供了一個有趣的旋轉的表示法。（我們可以將這裏的q理解爲“2D平面上的四元數”，但其實他們之間還是有區別的）
然後我們的主角終於登場了，愛爾蘭數學家William Hamilton多年來一直致力於尋找一種方法將複數從2D擴展到3D。他認爲，這種新的複數應該有一個實部和兩個虛部。然而，Hamilton一直沒有辦法創造出一種有兩個虛部的有意義的複數。但故事並沒有結束，1843年，在赴皇家愛爾蘭學院演講的路上，他突然意識到應該有三個虛部而不是兩個。他把定義這種新複數類型性質的等式刻在Broome橋上。這樣，四元數就誕生了。（本段抄自《3D數學基礎：圖形與遊戲開發》）
四元數擴展了複數系統，它使用三個虛部i，j，k。它們的關係如下：
ii=jj=kk=-1
ij=k,ji=-k
jk=i,kj=-i
ki=j,ik=-j
一個四元數[w, x, y, z]定義了複數w+xi+yj+zk。
具體四元數的一些公式，我們有緣再講，只是有一個必須要提一下，這也是2D和3D上的區別。
定義三維上的點(x,y,z)在四元數空間上的座標p=[0,x,y,z]，那麼如何讓這個點繞軸e旋轉θ？我們設繞軸e旋轉θ對應的四元數爲q，那麼旋轉後的點爲：
p1=qpq-1
其中q-1爲q的逆（等於q的共軛複數除以q的模，[w,x,y,z]的共軛爲[w,-x,-y,-z]，模的定義與向量模類似，爲各項平方和的開方）。
（Unity3D裏我們可以直接用四元數Quaternion乘以向量Vector3，得到旋轉後的點）
最後提一句，四元數可以解決歐拉角的萬向鎖問題和別名問題（所以U3D裏使用Quaternion來保存旋轉）。
